第六十二讲  可分离变量的微分方程

 

 

一、可分离变量的微分方程

 

若一阶方程可化为，则称之为可分离变量微分方程.

设的原函数为，则，即通解为

                            

注意：一阶微分方程中分离变量法是最基本的，要有足够的训练，大家要牢固掌握，必要时要复习不定积分的基本内容.

 

典型例题

 

例1、求的通解

解 ，

，，

又也为方程的解，故通解为

例2解方程

解 

，，

故通解为

例3 用分离变量法解下列微分方程：

（1）；

（2）；

（3）

（4）.

解 （1）分离变量得    ，

两端积分得，C为任意常数.

（2）原方程可变形为 ，

分离变量得     ，

两端积分       ，

得           ，

即           ， ………①

又也是解，该解可看作是上式中时的解，

所以通解为    ，C为任意常数………②

注意：在以上推导过程中，①式中，但特解正好可视为①式中的解，因此去掉的限制时，就得到方程的通解②.为简便起见，以后遇到类似的情况时，不在重复上述推理过程，而直接写出结果，C为任意常数.

（3）原方程等价于

，

即，

分离变量得   

两端积分得   ，

从而，C为任意常数.

（4）应用指数公式，

分离变量得    ，

两端积分得所求通解为，C为任意常数.

例4 求解定解问题.

解 分离变量得     ，

积分得      ，C为任意常数，

又，所以，

定解问题的解为   .