第六十三讲 一阶齐次微分方程
1、若一阶方程中的
可写成
的函数,即
,则称方程为一阶齐次微分方程.
如可化为
,为齐次方程.
2、齐次方程可化为可分离变量型方程
对齐次方程,做变换
,方程变为
,即
,两边积分后即得通解.
典型例题
例1 解方程.
解 将方程变形为,此题为齐次方程.
令,则
,
,
,
,
,
,故通解为
.
例2 解方程.
解 将方程变形为 此题为齐次方程.
令,则
,
故 ,
因此,
得 ,
,
,
故通解为.
例3 求下列微分方程的解:
(1);
(2).
解 (1)原方程可变形为,是齐次方程.
令,则
,
代入原方程,得,
整理得,分离变量、积分且将
代入得
,
即,C为任意常数.
(2)分析:方程中出现,考虑将
看作函数,y看作自变量,
原方程可变形为,
令,则
,
代入原方程,得 ,
整理得 ,
分离变量、积分且将代入得
,C为任意常数.
例4 解方程.
解 将方程变形为,此题为齐次方程.
令,则
,代入上式得
,
从而有 ,
,
.
例5 解方程.
解 原方程可改写为,
.
令,则有:
,
有,
,
原方程通解为.
例6 设有方程
,
试问为怎样的函数才能使给定的方程有通解
?
分析 这是一个求解微分方程的相反问题,所给微分方程是齐次方程.
解 若令,则
,
代入所给方程可得
即 ,积分得
.
由题设知原方程有通解,即
,
所以,
于是,
,
,
故.