第六十六讲 二阶线性常系数齐次微分方程

 

称为二阶常系数线性微分方程，

若称之为二阶常系数齐次线性微分方程.

因为中的系数为常数，加上函数的各阶导数仍然为形式，故对适当的，可以成为二阶常系数齐次线性微分方程的解.

将代入中，有，得，称之为二阶常系数齐次线性微分方程的特征方程.

特征方程的根不外乎下列三种情况：

① 有两个不相等的实根，此时可得两个线性无关的特解、，故通解为.

② 有两个相等的实根，此时仅得一个特解；可以验证是与线性无关方程的特解

故通解为

③ 有一对共轭复根，

可以验证得与是方程的两个线性无关的特解

故通解为

 

总结：求解方法 

 

求解二阶常系数齐次线性微分方程,一般分为如下三步:

第一步  写出方程的特征方程  ，

第二步  求出特征方程的两个特征根  ,，

第三步  根据下表给出的三种特征根的不同情形，写出的通解.

 

有两个不同特征实根
有两个相同特征实根
有一对共轭复根