第六十七讲 二阶线性常系数齐次微分方程典型例题

例1 解下列二阶常系数线性齐次微分方程：

（1）；

（2）；

（3）.

解 （1）对应的特征方程为

，

特征根为，所以微分方程的通解为

，为任意常数.

（2）对应的特征方程为

，

特征根为，所以微分方程的通解为

，为任意常数.

（3）对应的特征方程为

，

特征根为，所以微分方程的通解为

，为任意常数.

例2、解方程

（1）  

（2）  

（3）

解（1）对应的特征方程为

特征根为，故通解为

（2）对应的特征方程为

特征根为，

故通解为

（3）对应的特征方程为，

特征根为

故通解为

例3 建立二阶常系数线性齐次微分方程，已知其特征方程的一个根是，并求出此微分方程的通解.

解 由于特征方程是实系数的二次代数方程，故另一特征根为.

根据韦达定理知，

故特征方程为，

相应的微分方程为，

该方程的通解为 .