第六十八讲 型的n阶微分方程
对于某些特殊形式的高阶微分方程,有的可以通过积分来求解,有的经过适当的换元将它降为较低阶的微分方程来求解,以二阶微分方程
为例,如果我们能作适当的换元将其从二阶微分方程降为一阶微分方程,并且能应用第二节中介绍的一阶微分方程的解法来求解,然后将换元还原,再对这个一阶微分方程求解,从而求得所给二阶微分方程
的解.
本节主要介绍三种容易降阶的高阶微分方程及其解法.
一、型的阶微分方程
n阶微分方程
的特点是右端只含自变量,其解法是对上式两端连续积分次即得通解.
例1、解方程
解
例2 求高阶方程的通解.
分析 右端只含有x项,所以可以直接积分求解.
解 两边同时积分得,
再次两边同时积分得 ,
再次两边同时积分得
,为任意常数.