第一节 矩阵的初等变换
一. 数学概念
等价关系具有的性质：
(i) 反身性 A~A;
(ii) �对称性 若A~B,则B~A;
(iii) 传递性 若A~B, B~C,则A~C;
二. 重点，难点分析
本节的重点是用矩阵的初等变换将矩阵化为行(列)阶梯形矩阵、最简型矩阵和标准形矩阵。行(列)阶梯形矩阵对于我们下节学习矩阵的秩是至关重要的，最简形矩阵对于今后学习方程组求解是非常有用的。只要掌握将矩阵化为阶梯形、最简型和标准形的一般规律，就将使其化难为易，快速得出所需要的结果。
三. 典型例题
例 设矩阵
将A化成行阶梯形，行最简形和标准形矩阵。
解：对矩阵A作初等行变换，
显然，B1是行阶梯形矩阵，其特点是：阶梯线下方的数全为0；每个台阶只有一行，台阶数即是非零的行数，阶梯线的竖线(每段竖线的均为一行)后面的第一个元素为非零元，也就是非零行的首非零元。
将B1再继续进行初等行变换，得
显然B2是行最简型矩阵，其特点是：非零行的首非零元为1，且这些非零元所在的列的其它元素都为0。
对行最简形矩阵再施以初等列变换，得：
显然
是标准形矩阵，其特点是，该矩阵的左上角是一个单位矩阵，其它的元素全为零。
注：将矩阵化为标准形矩阵可以用初等行变换先变成行阶梯矩阵，再变成行最简矩阵，在此基础上再用初等列变换最终化成标准形矩阵，也可以通过用初等列变换将其变成列阶梯形矩阵，再用初等列变换变成列最简形矩阵，最后用初等行变换将其变成标准形矩阵，也可以初等行、列变换并用，将快速把矩阵变成标准形矩阵。但考虑下面学习解线性方程组的需要，我们必须熟练掌握用初等行变换把矩阵化为行最简形矩阵。
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