第　2　节  　离散型随机变量及其概率分布

一．    数学概念与定义

     如果一个随机变量只可能取有限个值或可列无穷多个值，则称为离散型随机变量。

     若离散型随机变量可能取的值为，取的概率为，即

     则称上式为随机变量的概率分布（或分布律）。

二．    原理公式和法则

     1．概率分布的性质

         ，并且。）

     2．离散型随机变量的分布函数

       若是离散型随机变量，的分布律为

       则的分布函数为

     3．几种重要的离散型随机变量

       （1）（0-1）分布

         在一次试验中，事件发生的概率为，以表示一次试验中事件发生的次数，则只能取1和0两个值，的概率分布为

         这个分布称为（0-1）分布，记成。

         任何一个试验中，如果只关心某事件A发生与否，则可定义

         则（0-1）分布。

       （2）二项分布

         如果在一次试验中事件发生的概率为，以表示在次试验（即重贝努利试验）中事件发生的次数（不管是在哪次试验中发生的），则是一个随机变量，可能取的值为的概率分布为

         这个分布称为参数为的二项分布。记作。

       （3）泊松分布

         如果随机变量的概率分布为

         其中是常数，称服从参数为的泊松分布。记作。

       （4）几何分布

         事件在一次试验中发生的概率为，将此试验独立重复进行，直到发生为止，以表示事件首次发生时的试验次数，则是一个随机变量，可能取的值为的概率分布为

         的分布称为几何分布。

       4．泊松定理

         设随机变量，其概率分布为

         其中是与有关的数，，（是常数），则有

         由泊松定理可知，如果，并且很大，很小，则有以下近似公式

         其中。

 

三. 重点、难点分析

       要掌握一个离散型随机变量的统计规律必须且只需知道的所有可能取的值以及取每个可能值的概率。

在判断是否是离散型的随机变量的概率分布时，看该式是否满足且。

四. 典型例题
    例1：  设试验成功的概率为，失败的概率为，重复独立试验直到成功两次和三次为止，分别求所需试验次数的概率分布。

       解：  设表示直到成功两次为止所需试验次数，则是随机变量，可能取的值为。

       事件，即前次中有一次成功（不论哪一次），并且第次成功。由于各次试验是独立进行的，每一个“前次试验中有一次成功，并且第次成功”这样的基本事件的概率均为。而前次试验中有一次成功，又有种情况，即可以第一次成功，第二次成功…或第次成功。故的概率分布为

       设表示直到成功三次为止所需试验次数，则可能取的值为。

       事件即前次试验中有两次成功，并且第次成功。同理可得的概率分布为

。

     例2：  某产品的次品率为0.1，检验员每天检验4次，每次独立地取5件产品进行检验，如果发现其中的次品数大于1，就去调试设备。以表示一天中调试设备的次数，求的分布律。

      解：　设为取出的5件产品中的次品数，则。于是

       而即为每次检查后设备需要调试的概率。独立检查4次，调试设备的次数服从参数为4，0.082的二项分布，即

       例3：  箱内装有5件产品，其中2件次品。假设每次随机地取一件检查，取后不放回，直到查出全部次品为止。设所需检查次数为。

         （1）求的分布律；

         （2）求的分布函数。

       解：  （1）因为共有5件产品，其中2件次品，可能取的值显然为2，3，4，5。

       设表示“第次取正品”。据乘法定理，可得

       故的分布律为

       （2）当时，

       当时，

       当时，

       当时，

       当时，

       综上得的分布函数为