第 1 节   二维随机变量

一．数学概念与定义

      1．二维随机变量的概念

       设是一个随机试验，是它的基本空间，在上定义两个随机变量和，写成向量的形式，称为二维随机变量（或二维随机向量）。称为二维随机变量的分量。

     2．二维随机变量的分布函数

      分布函数的定义

         设是二维随机变量，对任意实数，定义二元函数

         称函数为二维随机变量的分布函数，或者称为随机变量和的联合分布函数。

     3．二维离散型随机变量

      （1）离散型随机变量的定义

       若二维随机变量所有可能取的值是有限对或可列无限多对时，则称是离散型随机变量。

      （2）离散型随机变量的概率分布

       设二维随机变量所有可能取的值为，取的概率为，即

      则称上式为二维随机变量的概率分布（或的联合分布律）

      显然

     4．二维连续型随机变量

      连续型随机变量的定义

        设（）为二维随机变量，如果存在非负函数，使对任意实数，都有

        则称为连续型随机变量，称为二维随机变量的概率密度（或的联合概率密度。）

二．原理公式和法则

     1．分布函数的性质

       1°，并且对任意固定的与， 。

       2°是或的单调增加函数。即对于任意固定的，当时，；对于任意固定的，当时，。

       3°关于右连续，关于也右连续，即，。

     2．离散型随机变量的分布函数

     3．概率密度函数的性质

       1°；

       2°；

       3°设是平面上的一个区域，则落在内的概率等于其概率密度在上的二重积分，即

       4°设是的分布函数，则

       5°若在点连续，则有

     4．两种常用的连续型随机变量

       1°均匀分布

       设是平面上的有界区域，其面积为，若二维随机变量具有概率密度

       则称在上服从均匀分布。

       2°正态分布

       若二维随机变量的概率密度为

       其中及均匀常数，并且，则称服从二维正态分布。

       当二维正态分布的概率密度中时，有

       当时，概率密度为

  

 三. 重点、难点分析

     1．相对于单个随机变量特征是为了揭示随机现象的统计规律，二维随机变量是为了揭示两个随机变量的相依关系，如何从二维分布求出各个随机变量自身的分布，如何求出相应的随机事件 （是中的子集）的概率正是本章研究的对象。

     2. 二维随机变量的性质，不仅与及有关，而且依赖于它们之间相互关系，也即对于二维随机变量，不仅要逐个讨论和的性质，而且还要把作为一个整体讨论。

     3．二维连续随机变量落在平面区域内的概率等于其联合概率密度在上的二重积分；即。

     当是分区域定义时，为计算上述二重积分，应先找出取值非零的区域与积分区域的交集，然后再在此交集上选择积分次序化为两次定积分。

四. 典型例题

   例1:  口袋里有3个红球，2个白球及3个篮球，随机地从口袋中取出三个球。设分别表示取出的3个球中的红球数和白球数，求、的联合分布律。

   解:  由已知口袋里有3个红球，取出3个球，所以可能取的值为0，1，2，3；因为口袋里只有2个白球，可能取的值为0，1，2。因此二维族随机变量可能取的值为

     （0，0），（0，1），（0，2），（1，0），（1，1），（1，2）

     （2，0），（2，1），（3，0）

   口袋中共有3+2+3=8个球，从中任取3个球有种取法；事件即“取1个红球，2个白球，0个篮球”。据组合公式及等可能概型，有

   一般

；；

   的分布律如下表：

   例2:  设二维随机变量的概率密度为

   试求：（1）系数；（2）。

    解:  （1）因为概率密度函数应满足条件

    而

   因此，令，得。

   （2）事件表示随机变量可能取的值满足关系式，因此，即二维随机变量落在圆域：内的概率。所以