第2节     边缘分布

一．数学概念与定义

     边缘分布的概念

     对二维随机变量 ，如果我们只考虑其中一个变量，另一个变量可以取任何它可能取的值，则得到两个一维随机变量 和 它们的分布分别称为二维随机变量 关于 和关于 的边缘分布。

二．原理公式和法则

     1．边缘分布函数

        设为二维随机变量的分布函数，和分别为关于和关于的边缘分布函数，则

     2．二维离散型随机变量的边缘分布律

        设二维离散型随机变量的联合分布律为

        则关于的边缘分布律分别为

     3．二维连续型随机变量的边缘概率密度

        设为二维连续型随机变量的概率密度，和分别为关于和关于的边缘概率密度。则

 

三. 重点、难点分析

     1．二维随机变量的边缘分布函数和与的分布函数存在极大关联，，而对连续型二维随机变量的边缘概率密度（或离散型的边缘分布律）同样与联合密度（或分布）存在极大关联。

     求解连续型随机变量的边缘分布的密度函数实质上是将一变量视常量而求另一变量在区间上的单次积分。

     2．上述积分是含参变量的广义积分，计算积分时，是对区间上每个确定的，对在上积分。如果在整个平面上的表达式不是用一个式子给出的，对不同的积分限可能不同。

     另外，边缘密度的物理意义是：当表示平面上各点的面密度时，则表示将平面垂直于轴压成直线轴时，轴上各点的线密度。

四. 典型例题

   例1  设二维离散型随机变量的分布律如下表：

     试求：（1）；

     （2）关于和关于的边缘分布律。

      解  （1）

          （2）

     综上得的分布律如下表

    同理可得的分布律如下表

     例2:设二维随机变 量在以原点为中心，为半径的圆域上服从均匀分布，求的概率密度及边缘概率密度，并问与是否独立？

      解:  由已知，的概率密度为

        当时，因为，所以

        当时，因为

        所以

        故

        同理可得

        由于  ，所以与不独立。