第三节　分块矩阵

一.　数学概念

分块矩阵：用若干条横线和竖线将矩阵A分成若干小块，每一小块称为矩阵的子块，以子块为元素的矩阵为分块矩阵。

二.　原理，公式，法则

1. 分块矩阵的加法

设A，B为同型矩阵，分法相同，对应子块相加，即将 矩阵A，B分块为

2. 分块矩阵的数乘

设A为分块矩阵， 为数，

3. 分块矩阵的乘法

设 ，分块为

其中 的列数分别等于 的行数，那末

其中

4. 分块矩阵的转置

设

5. 分块对角矩阵

都是方阵。

注 1. 以上分块矩阵运算律与矩阵的相应的运算律相同。

2. 对分块对角矩阵有

三. 重点，难点分析

本节的重点是分块矩阵的按行分块或按列分块或分块成对角矩阵。这对讨论矩阵与向量组的关系;讨论线性方程组的解是非常有用的。难点是分块矩阵的乘法。熟练掌握分块矩阵的乘法和分块对角矩阵的各种运算是非常必要的。

四.典型例题

例1.　设

,求A^-1。

解：

由于

所以

例2. 设矩阵

求A+B和AB

解：由A的特点，可将A分块为

B按运算要求分块为

于是