第二节　逆矩阵

一.　数学概念

定义2.1　设A为n阶方阵，若存在一个n阶方阵B使 ，则称矩阵A是可逆的，并把矩阵称为A的逆矩阵。

1.　可逆矩阵又称为非奇异矩阵。

2.　不可逆矩阵又称为奇异矩阵。

二.　原理，公式和法则

1. 定理2.1　方阵A可逆的充分必要条件是 ,且 ，其中

为A的伴随矩阵。

推论　若AB＝E(或BA=E)则B＝A^-1。

性质　逆矩阵是唯一的。

2.　运算律

① 若A可逆，则A^-1亦可逆，且 。

② 若A可逆，数 ,则λA可逆，且 。

③ 若A,B为同阶矩阵且均可逆，则AB亦可逆，且

④ 若A可逆，则A^T亦可逆，且

三.　重点，难点分析

可逆矩阵的求逆既是本节的重点，也是本节的难点，它也是本章的重点。这是因为求逆矩阵它不仅可以解n个方程n个未知数方程组的求解，也可以解矩阵方程，而且在今后的学习中还要经常遇到求逆矩阵的计算。由关系式求逆和抽象矩阵的求逆对初学者来说是比较困难的。

四.　典型例题

例1. 设A为n阶方阵，若 ,试证A-E可逆，并求x。

证明　由 ，得 ，在此两端同加单位矩阵得

例2.　设

E为4阶单位矩阵，且 ,求 。

解：在 的两边左乘(E+A)得，

例3.　设矩阵A的伴随矩阵

,

且 ,其中E为4阶单位矩阵，求B。

解：在 左乘A^＊，右乘A得