上一节
  返回目录 下一节

第三节 线性方程组的解

. 数学概念

根据矩阵的乘法,可以将线性方程组写成矩阵形式。

1. n元齐次线性方程组

2. n元非齐次线性方程组

3. A为方程组的系数矩阵,B=(Ab)为非齐次线性方程组的增广矩阵。

原理、公式和法则

定理3.1  n元齐次线性方程组 有非零解的充分必要条件的系数矩阵A的秩

R(A)<n

定理3.2  n元非齐次线性方程组 有解的充分必要条件的系数矩阵A的秩等于增广矩阵B=(Ab)的秩。

显然定理3.1是判断齐次线性方程组有什么样解的问题,而定理3.2是用来判断非齐次线性方程组有没有解的问题。

. 重点、难点分析

本节的重点是会用定理3.13.2判定齐次线性方程组有怎样解和非齐次线性方程组有没有解。难点的如何求出方程组的解和怎样深刻理解定理3.13.2的证明。定理的证明虽然简单明了,但用前面已学过的许多知识,并且方法独特,不易掌握和理解。

. 典型例题

1 求解齐次线性方程组

 

解:对系数矩阵A施行初等行变换为行最简形矩阵:

即得与方程组同解的方程组

由此即得

,把它写成通常的参数形式

   

其中 为任意实数,或写成向量形式

 

2. 设有线性方程组

取何值时,此方程组(1)有唯一解;(2)无解;(3)有无限多个解?并在有无限多解时求其通解。

解:对增广矩阵B=(Ab)作初等行变换把它变为行阶梯形矩阵,有

     

时,R(A)= R(B)=3,方程组有唯一解;

时,R(A)=1 R(B)=2,方程组无解;

时,R(A)= R(B)=2,方程组有无限多个解,

时,

   

由此便得通解

   

    

通过上面的实例,我们可知对于齐次线性方程组,只须把它的系数矩阵化为行最简形矩阵,找出与原方程组等价的线性方程组,便能写出通解。对于非齐次线性方程组,只须把它  增广矩阵化成行列阶梯矩阵,便能根据定理3.2判断它是否有解;在有解时,把增广矩阵进一步化成最简形矩阵,从而写出它的通解。

 

       
上一节
  返回目录 下一节

吉林大学远程教育学院©版权所有
Distant Education College, Jilin University