第一节 向量组的线性相关性

 

一．数学概念

定义1.1  n个有次序的数 ，所组成的数组称为n维向量，这n个数称为该向量的n个分量，第i个数 称为第i个分量。

定义1. 2  给定向量组A： ，对于任何一组实数 ，向量

               

称为向量组A的一个线性组合， 称为这个线性组合的系数。

定义3  给定向量组A： 和向量β，若存在一组数 ，使

               ，

则称向量β是向量组A的线性组合，这时称向量β能由向量组A线性表示。

定义4  给定向量组A： ，若存在一组不全为零的数 ，使

                ，

则称向量组A是线性相关的，否则称它是线性无关的。

定义5  设有两个向量组A： ，及B： ，若B 组中的每个向量都能由向量组A线性表示，则称B能向量组A线性表示，若向量组A与向量组B能互相线性表示，则称这两个向量组等价。

二．原理，公式和法则

1. 判断向量组  的线性相关性的基本原理的：

                    

当上式成立时， 不全为0，则可确定 线性相关，若只有 ，则可确定 线性无关。

2. 向量线性相关性的判定

1) 一个向量a是线性相关的充分必要条件是：a=0；

2) 两个向量是线性相关的充分必要条件是：它们对应的分量成比例。

3) n个n维向量线性相关的充分必要条件是：由它们组成的n阶行列式为零。

4) 向量组 线性相关的充分必要条件是：向量组中至少有一个向量能由其余的m-1个向量线性表示。

5)向量组 线性相关的充分必要条件是：由它构成的矩阵 的秩小于向量的个数m。

6) 若向量组 线性相关，则向量组 也线性相关。

7) 当m>n时，m个n维向量必线性相关。

8) 一个向量a线性无关的充分必要条件是：a ≠ 0。

9) 两个向量是线性无关的充分必要条件是：它们对应的分量不成比例。

10) n个n维向量线性无关的充分必要条件是：由它们组成的n阶行列式不等于零。

11) 向量组 线性无关的充分必要条件是：由它构成的矩阵 的秩等于向量的个数m。

12) 整组向量线性无关，则它们的任何部分组也线性无关。

13) 若r维的向量组线性无关，而在r维的向量组中的每个向量的后边添上一个分量，则r+1维的向量也线性无关。

3. 若向量组 线性无关，而 ,β线性相关，则β能由 线性表示，且表示法是唯一的。

4. 判定向量组线性相关性的方法：①定义法；②反证法；③判定法；④计算法。

三．重点，难点分析

本节的定义，定理，性质，推论较多，且又非常抽象，不易理解，有一定的难度。

重点是向量组的线性相公性的定义理解，和如何判断一组向量的线性相关性。

 

四．典型例题

例1. 设向量组 。当t为何值 线性相关；当t为何值时 线性无关。

解：设                                  

   

显然，当t=5 时，R(A)=2<3，故 线性相关。

当t 5时，R(A)=3，故 线性无关。

本题由于向量个数与向量的维数相同，也可以由它们所组成的3阶行列式是否等于零来确定向量组的线性相关性，也可以用定义，采用计算法来判定。

例2. 向量β由向量组 线性表示，则表示法是唯一的充分必要条件是 线行无关。

证：必要性，设 使

                             (1)

又β能由 线性表示，

所以有                      (2)

将(2)—(1)得                                                  

由表示法的唯一性，知：

   

得， ，故 线性无关。

充分性，假设有两种表示法，即

两式相减得                                             

由于 线性无关，所以

故表示法是唯一的。