第二节. 向量组的秩

一．数字概念

定义2.1  设有向量组A，如果在A中存在r个向量 ,满足

(1)向量组A_0: 线性无关；

(2)向量组A中任意r+1个向量(如果A中有r+1个向量的话)都线性相关，那末称向量组A₀是向量组A的一个最大线性无关组(简称最大无关组)。

定义2.2  向量组最大无关组中向量的个数称为向量组的秩。

矩阵列向量组的秩称为矩阵的列秩，行向量组中秩称为矩阵行秩。

二．原理，公式与法则

定理2.1  R(A)=A的行秩=A的列秩

定理2.2  向量组A与其最大无关组 等价。

定理2.3  设向量组B能由向量组A线性表示，则向量组B的秩不大雨向量组A的秩。

推论1  等价向量组的秩相等。

推论2  设 ，则 。

推论3  设向量组B是向量组A的部分组，若向量组B线性无关，且向量组A能由向量组B线性表示，则向量组B是向量组A的一个最大无关组。

三．重点，难点分析

本节的重点是向量组的最大无关组和秩的定义，求向量组的最大无关组和秩的方

法，这对于下面将要学习向量空间和求齐次线性方程组的基础解系是非常重要的。难点是上面讲述的定理的证明，需要同学们具有一定抽象思维能力和逻辑能力。

四．典型例题

例1．设向量组

求向量组 的秩和一个最大无关向量组。

分析：解此类问题可根据矩阵与向量组的关系以及矩阵列(行)秩的关系，把向量组 拼成矩阵，从而可知其秩又可得矩阵A的最高阶非零子式所在列是该向量组的最大无关组。

解：设 ，对A施行初等行变换，得  

显然R(A)=2，所以向量组 的秩为2，且 是 的一个最大无关组。 

例2．向量组中的任一向量必是向量组中某个最大无关组的线性组合。

证：设向量组A： 的某个最大无关组是A₀:

设α_i是向量组A中的任一向量，分情况讨论如下：

 ①α_i在向量组A₀中，则有

       

②若α_i不在向量组A₀中，由于A₀是A的最大无关组，而 线性相关，故α_i可由 线性表示。

对于最大无关组的证明要注意以下两点：

(1)证明该向量组是线性无关；

(2)整个向量组中的任一向量都可由该向量组线性表示；或利用等价的关系证整个向量组与其等价。