第三节 向量空间

一．数字概念

定义3.1  设V是n维向量集合，且非空，若

(i) 则, ；

(ii) 则 。

则称V是一个向量空间。

定义3.2  设 是两个向量空间，若 ，则称 的子空间。

定义3.3  设V为向量空间，如果r个向量 ，且满足

( i ) 线性无关；

(ii) V中的任一向量都可由 线性表示，则称向量组 是向量空间V的一个基，r称为向量空间V是维数，并称V为r维向量空间。

二．原理，公式和法则

等价的向量组所生成的向量空间相等。

把向量空间看作向量组，向量空间的基就是向量组的极大无关组，向量空间的维数就是向量组的秩。

三．重点，难点分析

本节的重点是向量空间的概念和向量空间的基，并把空间中的向量用这个基线性表示；难点是深刻理解向量空间和向量空间基这个抽象的概念，验证一组向量是向量空间的基，并把空间中的几个向量用这个基线性表示的解决方法，在此基础上正确理解向量组等价的概念，两个非齐次线性方程组同解的问题。

四．典型例题

例 验证向量组

 

 

用这个基线性表示，并判断 能否是 的另一个基。

解：设 ，要证 的一个基，只须证明A~E即可。对 施行初等行变换，若A能变成E，则 的一个基，且当A变成E时， 变成 ，由于

    

显然A~E，故 的一个基，

且

又 ，且与 等价，故 也是 的一个基。

该题也可以先验证 或R(A)=3。确定 是线性无关，由于4个维向量必线性相关。故 的一个基。若 由 线性表示，可以解以 为方程组的系数矩阵， 分别为常数项的3个线性方程组。