第三节 数据依赖的公理系统           （1） （2） （3）
    求闭包的算法：算法1求属性集X(X ?U)在U上的函数依赖集F 的闭包XF+，输入：X,F 输出：XF+。
    ⑴ 令X(0)=X，i=0；
    ⑵ 求B, B = {A|(?V)(?W)(V→W?F∧V ? X(i)∧A?W)}；
    ⑶ X(i+1)=B∪X(i) ；
    ⑷ 判断X(i+1)= X(i)吗?；
    ⑸ 若相等或X(i)=U , 则X(i)就是XF+ , 算法终止；
    ⑹ 若否，则 i=i+l，返回第⑵步。
    对于算法l， 令ai =|X(i)|，{ai }形成一个步长大于1的严格递增的序列，序列的上界是 | U |，因此
该算法最多|U| - |X| 次循环就会终止，函数依赖闭包。
    例 已知关系模式R<U,F>, 其中 U={A,B,C,D,E}；F={AB→C, B→D, C→E, EC→B, AC→B}, 求(AB)F+。
    解：设X(0)=AB；
    (1)计算X(1): 逐一扫描F集合中各函数依赖，找左部为A, B或AB的函数依赖：
        AB→C，B→D。于是X(1)=AB∪CD=ABCD。
    (2)因为X(0)≠ X(1) , 所以再找出左部为ABCD子集的那些函数依赖, 又得到AB→C, B→D, C→E, AC→B,
于是X(2)=X(1) ∪BCDE=ABCDE。
    (3)因为X(2)=U，算法终止, (AB)F+ =ABCDE。
    4. Armstrong公理系统的有效性与完备性，建立公理系统体系目的：从已知的 f 推导出未知的f。明确：
        1. 公理系统推导出来的 f 正确？
        2. F+中的每一个 f 都能推导出来？
    有效性：由F出发根据Armstrong公理推导出来的每一个函数依赖一定在F+中。 /* Armstrong正确。
    完备性：F+中的每一个函数依赖，必定可以由F出发根据Armstrong公理推导出来。 /* Armstrong公理够
用，完全。所有不能用Armstrong公理推导出来f, 都不为真，若 f 不能用Armstrong公理推导出来， f∈F+
    5. 函数依赖集等价
    定义 如果G+=F+，称函数依赖集F覆盖G（F是G的覆盖，或G是F的覆盖），或F与G等价。函数依赖集等价的
充要条件。
 引理 F+ = G+ 的充分必要条件是F∈G+ , 和G∈F+。
 证: 必要性显然，只证充分性。
    ⑴ 若F∈G+ ，则XF+∈XG++ 。
    ⑵ 任取X→Y?F+ 则有 Y∈XF+∈XG++ 。
    所以X→Y (G+)+= G+, 即F+∈G+。
    ⑶ 同理可证G+∈F+ ，所以F+ = G+。
    要判定F∈G+，逐一对F中的函数依赖X→Y，考察 Y 是否属于XG++ 。引理5.3 给出了判断两个函数依赖集
等价的可行算法。
    6. 最小依赖集
    定义 如果函数依赖集F满足下列条件，则称F为一个极小函数依赖集。亦称为最小依赖集或最小覆盖。
    (1) F中任一函数依赖的右部仅含有一个属性。
    (2) F中不存在这样的函数依赖X→A，使得F与F-{X→A}等价。
    (3) F中不存在这样的函数依赖X→A， X有真子集Z使得F-{X→A}∪{Z→A}与F等价。