第三节 行列式按行(列)展开

一．数学概念

余子式和代数余子式

在n阶行列式中，把元素 所在第i行和第j列划去后，留下来的n-1阶行列式叫做元素 的余子式，记作 ，记

,

叫做元素 的代数余子式。

二．原理，公式

引理  一个n阶行列式，如果其中第i行所有元素除 外都为零，那么这行列式等于 与它的代数余子式的乘积。

定理3.1  行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和。即

                 

或                    

推论  行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即

                

范德蒙德(Vandermonde)行列式

三．重点，难点分析

本节重点是行列式按行(列)展开的引理、定理、推论。灵活准确的应用行列式的性质和展开定理及其引理是快速、准确计算行列式的关键。而行列式展开定理的推论不仅告诉我们计算行列式时必须用某一行(列)的元素分别乘以该行(列)对应元素的代数余子式乘积之和时才是该行列式的值。否则乘以其它行(列)对应的元素的代数余子式的乘积之和则为零，而且该推论和展开定理并用可以计算行列式中的参数。

Vandermonde行列式虽然给出了一个计算公式，但是对于某些特殊的行列式怎么变成Vandermonde行列式的形式确是比较困难，当然用Vandermonde行列式能够计算一些难度较大的行列式的计算。

四．典型例题分析

例2．设4阶行列式的第2列元素依次为2，m,k,3，第2列元素的余子式依次为1,-1,1,-1,第4行元素的代数余子式依次为3,1,4,2,且行列式值为1，求m,k。

解：这是一道用行列式的展开定理和推论并用的计算行列式中的参数m,k的题型。由行列式的展开定理及其推论得

即                        

解得

例3．计算

解：本题从表面上它不是Vandermonde行列式，但是我们可以用行列式的性质将其变成行列的形式，将D的第1列分别乘 加到第3列，得