第二节  方阵的特征值与特征向量

 一 .数学概念

1 .特征值与特征向量：

设A为n阶方阵，若数 和n维的非零列向量x，使关系式Ax=λx成立，则称数λ为方阵A的特征值，非零向量x称为A的对应与特征值 的特征向量。

2 .特征多项式

3 .特征方程

 二 .原理，公式和法则

1 .求特征值与特征向量的方法：

(1)                            (实用于抽象矩阵)；

(2)                         (实用于具体矩阵)；

(3)                       (主要用于求特征向量)。

2 .主要公式

设 是A的特征值，x是A的对应于特征值 所对应的特征向量，则有

    

注： 特征值与特征向量指A可逆时。

3 .特征值与特征向量的性质

设 是A的n个特征值，则有

1)

2)

3) A可逆的充分必要条件是A没有零特征值。

4) A不可逆的充分必要条件是A有零特征值。

5) 方阵A不同的特征值对应的特征值是线性无关的。

 三 .重点、难点分析

本节的重点是理解特征值也特征向量的概念，求A的特征值与特征向量，掌握求特征值与特征向量的各种方法。难点是方阵A不同的特征值所对应的特征向量线性无关的证明；求方阵A特征值与特征向量的各种方法。

 四 .典型例题

例1 .求方阵   

的特征值和特征向量。

解： A的特征多项式为

       ，

所以A的特征值为 。

当 时，解方程 (A-2E)x=0。由

      ，

得基础解系 

，

所以 是对应于 的全部特征向量。

当 ，解方程(A-E)x=0。由

得基础解系

，

所以 是对应于 的全部特征向量。

例2 .求矩阵

           

的特征值和特征向量。

解 

所以A的特征值为 。

当 时，解方程(A+E)x=0。由

      ，

得基础解系

   ，

所以 是对应于 的全部特征向量。 

当 时，解方程(A-2E)x=0。由

      ，

得基础解系 

  ，

所以对应于 的全部特征向量为

           。

 

以上例1、例2都有二重特征值，而例1中的二重特征值对应两个线性相关的特征向量，例2中二重特征值对应两个线性无的特征向量，这对于下面将要学习的方阵对角化是分重要的，希望引起同学们的注意。

 

例3 .设3阶方阵A满足 ，且矩阵A的秩为2，求A的特征值。

解：设 是A的特征值，x是A的关于 所对应的特征向量，则有 ，在 是两端右乘x，得

    

即 

即 

由于 ，所以

得  

又A的秩为2，得A的特征值为

例3是一个抽象矩阵求特征值的问题，由所给的已知条件求出 ，再根据约束条件(例A的秩等于2)确定A的特征值。