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第二节  方阵的特征值与特征向量

  .数学概念

1 .特征值与特征向量

An阶方阵,若数 n维的非零列向量x,使关系式Ax=λx成立,则称数λ为方阵A的特征值,非零向量x称为A的对应与特征值 的特征向量。

2 .特征多项式

3 .特征方程

  .原理,公式和法则

1 .求特征值与特征向量的方法

(1)                            (实用于抽象矩阵)

(2)                         (实用于具体矩阵)

(3)                       (主要用于求特征向量)

2 .主要公式

A的特征值,xA的对应于特征值 所对应的特征向量,则有

    

注: 特征值与特征向量指A可逆时。

3 .特征值与特征向量的性质

An特征值,则有

1)

2)

3) A可逆的充分必要条件是A没有零特征值。

4) A不可逆的充分必要条件是A有零特征值。

5) 方阵A不同的特征值对应的特征值是线性无关的。

  .重点、难点分析

本节的重点是理解特征值也特征向量的概念,求A的特征值与特征向量,掌握求特征值与特征向量的各种方法。难点是方阵A不同的特征值所对应的特征向量线性无关的证明;求方阵A特征值与特征向量的各种方法。

  .典型例题

1 .求方阵   

的特征值和特征向量。

A的特征多项式为

      

所以A的特征值为

时,解方程 (A-2E)x=0。由

     

得基础解系 

所以 是对应于 的全部特征向量。

,解方程(A-E)x=0。由

得基础解系


所以 是对应于 的全部特征向量。

2 .求矩阵

           

的特征值和特征向量。

 

所以A的特征值为

时,解方程(A+E)x=0。由

*      

得基础解系

  

所以 是对应于 的全部特征向量。 

时,解方程(A-2E)x=0。由

*      

得基础解系 

 

所以对应于 的全部特征向量为

*           

 

以上例1、例2都有二重特征值,而例1中的二重特征值对应两个线性相关的特征向量,例2中二重特征值对应两个线性无的特征向量,这对于下面将要学习的方阵对角化是分重要的,希望引起同学们的注意。

 

3 .3阶方阵A满足 ,且矩阵A2,求A的特征值。

:设 A的特征值,xA的关于 所对应的特征向量,则有 ,在 两端右乘x,得

    

 

 

由于 ,所以

  

A2,得A的特征值为

3是一个抽象矩阵求特征值的问题,由所给的已知条件求出 ,再根据约束条件(A等于2)确定A的特征值。

 

 

       
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