第三节 相似矩阵

一. 数学概念

1 . 相似矩阵：

设A、B都是n阶方阵，若存在可逆矩阵P，使 ，

则称B是A的相似矩阵，记之A~B。

2 . 相似变换

对A进行 运算称为对A进行相似变换矩阵。

二. 原理，公式和法则

1 . 相似矩阵有相同的特征多项式，从而有相同的特征值。

2 .若A相似于对角矩阵L，则L主对线上元素是A的n个特征值。

3 .n阶方阵A能与对角矩阵L相似的充分必要条件是：A有n个线性无关的特征向量。

4 .若n阶方阵A的n个特征值各不相同，则A与对角阵L相似。

5 .实对称矩阵的特征值为实数。

6 .实对称矩阵不同的特征值所对应的特征向量是线性无关的。

7 .设 是实对称矩阵A的k重特征值，则矩阵 的秩 ，从而对应k重特征值 恰有k个线性无关的特征向量。

8 .设A为n阶实对称矩阵，则必有正交矩阵P，使 ，其中L是以A的n个特征值为对角元素的对角矩阵。

三 .重点、难点分析

本节的重点是一般方阵能对角化的条件，实对称阵用正交变换化成对角矩阵，将一个对称阵化成对角矩阵为把二次型化成标准形打基础。难点是上面理论的证明和推导，以及如何用正交变换矩阵将对称阵化成对角矩阵。此类题解法具有很强的规律性，但步骤较多，作起来比较复杂，同学们学习起来还是较困难的。

四. 典型例题

例1 .设矩阵

，

且A相似于B，求 的值。

解：由于A相似于B，则

即

再  ，

　　　　　　　　　　　

得   ，    从而

此类问题的求解可用方程①A的迹等于特征值的和：②|A|等于特征值的积。若以上两个方程相同，可以由 ，将对角矩阵B的主对角线上元素(即A的特征值)代入即得。

例2 .设矩阵

问当k等于何值时，存在可逆矩阵P，使得 ？并求出P和相应的对角矩阵。

解：由

得 。

当 时

显然当k = 0时, ，对应的特征向量为

，

当 时，

，

对应的特征向量为

。

因此当k=0时，零

    

则

。

解此类问题关键分析A应有二重特征值，并且二重特征值需对应两个线性无关的特征向量，从而 。确定k,这是十分关键的一步。

例3 .设矩阵

求正交矩阵P和L，使 。

解：由

得A的特征值为 。

当 时，代入方程组 ，即

，

解得 时一个特征向量为

；

当 时，代入方程组 ，即

，

解得 时对应的特征向量为

显然 与 正交，但 是线性无关的，可以用施密特标准正交把 化成两两正交的单位向量，这样较麻烦，若 得 ，显然它们正交，并且是上面线性方程组的解，故只须单位化

，

令 ，则P为正交矩阵，且

。