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第四节 二次型及其标准形一.数学概念1. 二次型 称含有n个变量
为二次型。 2. 二次型的矩阵形式
3. 二次型的秩 f的秩=R(A). 4. 二次型的标准形 称只含有平方项的二次型
二.原理,公式和法则1. 设可逆的线性变换x=Cy,将f化成标准形,即
2. 任给可逆矩阵C,令B=CTAC,如果A为对称矩阵,则B也为对称矩阵,且R(B)=R(A)。 3. 任给二次型
三.重点、难点分析本节的重点是用正交变换将二次型化成标准形,由于正交变换是保模的变换,所以正交变换将二次型化成标准形是今后用的最广的。难点是如何用正交变换将二次型化成标准形,其步骤较多,难度较大,但规律性很强,若抓住其规律,就容易将二次型化成标准形。 四.典型例题例1 求一个正交变换x=Py,将
解:①将f写成矩阵
②求矩阵A的特征值
得A的全部特征值
③由
当
解之得特征向量
当
解之得特征向量
④由于
⑤令
对于二次型
1 .将f写成矩阵形式
2 .
3 . 由
4 . 不同的特征值所对应的特征向量已经正交,只须单位化
对于k重特征值
5. 把两两正交的单位向量拼成正交矩阵P,作正交变换x=Py,则x=Py把f化成标准形
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