第五节. 配平方法与合同变换法

一. 数学概念

若存在可逆矩阵P，使得 ，则称矩阵A和矩阵B是合同的。

二. 原理，公式和法则

1.若A合同B，则R(A)=R(B)；

2.任何一个对称矩阵均可合同于一个对角矩阵；

3.若 ，且C可逆，A对称，则

其中 是初等方阵。

由于

即                       (1)

                              (2)

结合(1)和(2)，得

 

三. 重点、难点分析

本节的重点是用配平方法和合同变换法将二次型化成标准形，难点是具体化标准时的具体方法的运用。

四. 典型例题

用配平方法将

 

化成标准形，并写出所用的可逆线性变换。 

解：

 

令  

 

则  

 

所用可逆的线行变换为

例2．用合同变换法将

 

化成标准形，并写出所用的可逆线性变换。

解：二次型f的矩阵

  

   由于

所以

，

则x=Cy把f化成标准形