4.2 二重积分
    二、基本定理及公式
1. 二重积分的性质
设函数f(x,y),g(x,y)在区域D上可积：
性质 1 （k为常数） .
性质 2 .
性质 3 若D被分成D₁,D₂ 则.
性质 4 若在D上成立 , 则有不等式 :.
特别有 :
性质 5 设M,n是f(x,y)在闭区域D上的最大值和最小值.σ为D的面积 , 则有.
性质 6 ( 积分中值定理 ) 设函数f(x,y)在闭区域D上连续 ,σ为D的面积 , 则在D上至少存在一点(ξ,η), 成立
.称为函数f(x,y)在 区域D上的平均值 .
2. 二重积分的计算
(1) 在直角坐标系下计算二重积分
① 矩形区域 .
如果积分区域D由直线=a,x=b(a<b),y=c,y=d(c<d)围成如图所示 . 即D可表示为

,.
② X形区域
积分区域D由直线x=a,x=b(a<b), 曲线 围成 , 如图所示 ,, 即D可表示为

③ Y形区域
积分区域D由直线y=c,y=d(c<d), 曲线 围成 , 如图所示 ,, 即D可表示为.
说明 若D不是X形或Y形区域 , 即区域D与平行于坐标轴的直线的交点多于两个 , 或区域D一侧曲线由两个或两个以上曲线方程组成 , 如图所示 , 这时 , 须用平行于坐标轴的直线将D分块 , 使其部分区域或为X形区域 , 或为Y形区域 . 再根据二重积分对区域D的可加性计算二重积分 .

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