4.1 多元函数微分学
     一、数学概念
1. 多元函数的定义
定义 1 设D是xOy平面上的一个区域，如果对于每一点(x,y)∈D, 变量z按照某一确定的对应规律f总有唯一确定的数值与之对应 , 则称z是x,y的二元函数 , 记作:z=f(x,y), (x,y)∈D,
其中x,y称为自变量 ,z称为因变量 ( 或函数 ),D称为二元函数的定义域 , 记为D_f或D(f).
类似地 , 可以定义三元函数u=f(x,y,z)及三元以上的函数 ,n元函数可记作
二元及二元以上的函数称为 多元函数 .
2. 二元函数的定义域
在xOy平面上使得函数z=f(x,y)有定义的点(x,y)的全体 , 称为 二元函数的定义域 , 记作D(f).
求二元函数的定义域 , 就是寻求为了使得函数z=f(x,y)有意义 , 它的自变量x,y必须满足的不等式 ( 或等式 ) 或不等式组 , 解此不等式 ( 或不等式组 ), 所得到的解集就是二元函数的定义域 .
3. 二元函数的极限
定义 2 设z=f(x,y)在点p₀(x₀y₀)的某一去心邻域内有定义 ,P(x,y)为该邻域内任意一点 , 当P(x,y)以任意方式趋近于p₀(x₀y₀)时 , 函数f(x,y)的值都趋于一个确定的常数A, 则称A是函数f(x,y)当点P(x,y)趋近于p₀(x₀y₀)点时的极限 , 记作.
4. 二元函数的连续性
定义 3 设函数z=f(x,y)在点p₀(x₀y₀)的某一邻域内有定义 , 如果,
则称函数z=f(x,y)在点p₀(x₀y₀)处连续 .
如果函数z=f(x,y)在区域D上的每一点处都连续 , 则称函数z=f(x,y)在区域D上连续 .

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