4.1 多元函数微分学
5. 偏导数的定义
定义 4 设函数z=f(x,y)在点p₀(x₀y₀)处的某一邻域N(p₀)内有定义 , 当自变量x在x₀处有增量△x另一自变量y=y₀固定不变 ,(△x≠0, 且 (x₀+△x,y₀)∈N(p₀)), 如果极限

存在 , 则称此极限值为函数z=f(x,y)在点(x₀y₀)处对自变量x的偏导数 , 记作
f''_x(x₀y₀), , , .同理 , 如果极限存在 , 则称此极限值为函数z=f(x,y)在点(x₀y₀)处对自变量y的偏导数 , 记作f''_y(x₀y₀), , , .
6. 二阶偏导数
如果二元函数z=f(x,y)在平面区域D内的每一点(x,y)处都存在偏导数f''_x(x,y)和f''_y(x,y), 那么这两个偏导数仍然是平面区域D内的二元函数 , 称它们为一阶偏导函数 , 如果这两个偏导函数 和 对自变量x和y的偏导数也存在 , 则称这些偏导数为函数z=f(x,y)的二阶偏导数 .
7. 全微分的概念
定义 5 设函数z=f(x,y)在点p₀(x₀y₀)的某一邻域N(p₀)内有定义 , 自变量x,y在点p₀(x₀y₀)处分别有增量△x和△y( (x₀+△x,y₀+△y)∈N(p₀))), 如果函数z=f(x,y)在点p₀(x₀y₀)处对应全增量△z=f (x₀+△x,y₀+△y)-f(x₀,y₀)可以表示为:△z=A△x+B△y+o(ρ)
其中A,B与△x,△y无关 , ,o(ρ)表示当ρ→0时 , 它是比ρ高阶的无穷小 , 则称A△x+B△y为函数z=f(x,y)在点p₀(x₀y₀)处的全微分 , 记作,并称 函数z=f(x,y)在点p₀(x₀y₀)处可微 .
8. 二元函数极值的概念
定义 6 设函数z=f(x,y)在点p₀(x₀y₀)处的某邻域内有定义 , 如果对该邻域内任何异于点p₀(x₀y₀)的点(x,y), 都有f(x,y)<f(x₀y₀)( 或f(x,y)>f(x₀y₀)),则称函数f(x,y)在点p₀(x₀y₀)处有极大值 ( 或极小值 )f(x₀y₀). 并称点p₀(x₀y₀)为函数f(x,y)的 极大值(或极小值)点 .
函数的极大值和极小值统称为函数的极值 , 函数的极大值点和极小值点统称为 函数的极值点 .

上一页 下一页