| 4.1 多元函数微分学
二、基本定理及公式
求二元函数的定义域 , 就是寻求为了使得函数z=f(x,y)有意义 , 它的自变量x,y必须满足的不等式 ( 或等式 ) 或不等式组 , 解此不等式 ( 或不等式组 ), 所得到的解集就是二元函数的定义域 .
1. 偏导数的求法
设二元函数z=f(x,y)在点(x,y)处对自变量x与y的偏导数都存在 , 在求f''x(x,y)时 , 只要把函数f(x,y)中的y看作常数 , 而对自变量x求导数就行了 ; 在求f''y(x,y)时 , 只要把函数f(x,y)中的x看作常数 , 而对自变量y求导数就行了 .
如果要求函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处的两个偏导数f''x(x0,y0)和f''y(x0,y0), 先求出偏导数f''x(x,y)和f''y(x,y), 再把x=x0,y=y0代入其中 , 就可求出偏导数f''x(x0,y0)和f''y(x0,y0). 有时也可能要利用偏导数的定义 , 求出
 , .
由一阶偏导函数  对自变量x和y分别求偏导数 , 得到二元函数z=f(x,y)的两个二阶偏导数 :
 , .
由一阶偏导函数  对自变量x和y分别求偏导数 , 得到二元函数z=f(x,y)的两个二阶偏导数 : , .
其中  和  称为函数z=f(x,y)的二阶混合偏导数 , 它们由函数z=f(x,y)对自变量x和y求偏导数的先后次序不同 , 一般地这两个二阶混合偏导数不一定相等 , 如果  和  在平面区域D上连续 , 则有 , (x,y∈D).
2. 二元函数地偏导数的存在性 , 可微性和连续性之间的关系
定理 1 ( 函数可微的必要条件 ) 如果函数z=f(x,y)在(x0,y0)处可微 , 则该函数在点(x0,y0)处必连续 .
定理 2 ( 函数可微的必要条件 ) 如果函数z=f(x,y)在p0(x0,y0)处可微 , 则该函数在点p0(x0,y0)处的两个偏导数  和  必存在 , 并且 .
定理 3(函数可微的充分条件)如果函数z=f(x,y)的两个偏导数f''x(x,y)和f''y(x,y)在点p0(x0,y0)处存在且连续,则该函数在点p0(x0,y0) 处可微
以上三个定理说明 : 由函数z=f(x,y)可微可推知该函数一定连续 ; 由函数z=f(x,y)可微可推知该函数的两个偏导数一定存在 ; 由函数z=f(x,y)的两个偏导数存在且连续可推知该函数一定可微 .
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