4.1 多元函数微分学
    二、基本定理及公式
3. 全微分的求法
由上面的定理 2 可知 , 如果函数z=f(x,y)在点(x,y)处可微 , 在求全微分dz的表达式时 , 先求z=f(x,y)的两个一阶偏导数f''_x(x,y)和f''_y(x,y), 然后写出全微分的表达式 ( 规定△x=dx,△y=dy):dz=f''_x(x,y)dx+f''_y(x,y)dy.
如果要计算函数z=f(x,y)在点p₀(x_0,y₀)处的全微分 , 先计算f''_x(x₀,y₀)和f''_y(x₀,y₀),再写出全微分的表达式 :
.
4. 复合函数的微分法
求二元复合函数z=f(φ(x,y),ψ(x,y))对自变量x和y的偏导数基本公式 : 设函数u=φ(x,y)及u=ψ(x,y)都在点(x,y)处存在对x及y的偏导数 , 而在对应于(x,y)的点(u,v)处 , 函数z=f(u,v)存在对u及v的连续的偏导数 , 则复合函数z=f(φ(x,y),ψ(x,y))在点(x,y)处存在偏导数
和 , 并且有下列计算公式 :,.
特殊地 , 如果函数u=φ(x),v=ψ(x)在点x处可导 , 而在点x的对应点(u,v)处 , 函数z=f(u,v)存在对u及v的连续的偏导数 , 则复合函数z=f(φ(x,y),ψ(x,y))在点x处可导 , 并且有下面的计算公式 :
.称 为函数z=f(φ(x),ψ(x))的全导数 .
5. 隐函数的微分法
(1) 一元隐函数的微分法
设二元方程F(x,y)=0所确定的一元隐函数y=y(x)可导 , 可以用下面的公式计算导数 : ,
其中F'_x(x,y), F'_y(x,y)是二元函数F(x,y)对x和y的偏导数 , 在求F'_x(x,y)时 , 将y视为常数 ; 在求F'_y(x,y)时 , 将x视为常数 .
(2) 二元隐函数的微分法
设三元方程F(x,y,z)=0所确定的二元隐函数z=f(x,y)的两个偏导数 和 存在 , 则可以用下面的公式计算偏导数 :
, .
其中F'_x(x,y,z),F'_y(x,y,z)和 F'_z(x,y,z)是三元函数F(x,y,z)分别对自变量x,y和z的偏导数 . 在求F(x,y,z)对某一个自变量的偏导数时 , 将另外两个自变量都视为常数 .

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