4.1 多元函数微分学
     二、基本定理及公式
6. 二元函数极值存在的必要条件
定理 4 ( 极值存在的必要条件 ) 设函数z=f(x,y)在点p₀(x₀y₀)处存在偏导数,且在该点处取得极值 , 则必有.f''_x(x₀,y₀)=0,f''_y(x₀,y₀)=0使得f''_x(x₀,y₀)=0及f''_y(x₀,y₀)=0 同时成立的点p₀(x₀y₀), 称为函数z=f(x,y)的驻点.
极值存在的必要条件提供了寻找函数z=f(x,y)的极值点的途径 : 对于偏导数存在的函数 , 如果它有极值 , 则其极值点一定是驻点 , 因此可以通过解方程组 :

找到可能的极值点.但是驻点不一定就是极值点,还必须利用下面的函数极值存在的充分条件对驻点进行检验,最终判定驻点是不是极值点 .
7. 二元函数极值存在的充分条件
定理 5 设函数z=f(x,y)在点p₀(x₀y₀)的某一邻域内有一阶和二阶连续的偏导数 , 且: f''_x(x₀,y₀)=0,f''_y(x₀,y₀)=0 又设:f"'_xx(x₀,y₀)=A,f"'_xy(x₀,y₀)=B,f"'_yy(x₀,y₀)=C则 :
(1) 当B²-AC<0时 , 函数f(x,y)在点p₀(x₀,y₀)处取得极值 , 且当A<0(或C<0) 时 ,f(x₀,y₀)是函数f(x,y)的极大值 ; 当A>0( 或C>0) 时 , f(x₀,y₀)是函数f(x,y)的极小值 ;
(2) 当B²-AC>0时 , 函数f(x,y)在点p₀(x_0,y₀)处无极值 ;
(3) 当B²-AC=0时 , 函数f(x,y)在点p₀(x₀,y₀)处是否有极限不确定 , 用其他方法再讨论 .
8. 二元函数极值的求法
根据二元函数z=f(x,y)的极值存在的的必要条件 ( 定理 4) 和充分条件 ( 定理 5), 可以把具有一阶和二阶连续偏导数的函数z=f(x,y)的极值求法的步骤归纳如下 :
(1) 求出一阶偏导数 , 并解联立方程组 :

求出函数z=f(x,y)的所有驻点 ;
(2) 求出二阶偏导数 f"'_xx(x,y), f"'_xy(x,y)和 f"'_yy(x,y), 并对每一个驻点计算出在该点处二阶偏导数的值A,B和C;
(3) 对每一个驻点 , 定出B²-AC的符号 , 当B²-AC≠0时 , 按定理 5( 极值存在的充分条件 ) 判定每一个知道是不是极值点 , 是极大值点还是极小值点 . 当B²-AC=0时 , 另作讨论 ;
(4) 算出极值点处的函数值 , 即求得函数的极值 .

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