2.2 微分中值定理及导数的应用
定理 2 设 :
(1) 当x→∞时 , 函数f(x)及F(x)都趋于零 ;
(2) 当|x|>N时f"(x)及F'(x)都存在 , 且F"(x)≠0;
(3)  存在 ( 或为 ∞ ).
那么
 存在 ( 或为 ∞ ).
4. 函数的单调性判别
设函数 y=f(x) 在 [a,b] 上连续 , 在 (a,b) 内可导 .
(1) 如果在(a,b)内f'(x)>0, 那么函数 y=f(x)在[a,b]上 单调增加 ;
(2) 如果在(a,b)内f'(x)<0, 那么函数 y=f(x)在[a,b]上 单调减少 .
5. 函数取得极值的必要条件
设函数f`(x) 在点x0处可导 , 且在x0处取得极值 , 那么这函数在x0处导数为零 , 即f'(x0)=0.
6. 函数存在极值第一充分条件
设函数f(x)在点x0的一个邻域内可导且f'(x)=0.
(A) 如果当x取x0左侧邻近的值时 ,f'(x)恒为正;当x取x0右侧邻近的值时,f`(x)恒为负,那么函数 f(x)在x0处取得极大值;
(B) 如果当x取x0左侧邻近的值时,f`(x) 恒为负;当x取x0右侧邻近的值时,f`(x)恒为正,那么函数f(x)在x0处取得极小值;
(C) 如果当 x 取x0左右两侧邻近的值时 , f`(x) 恒为正或恒为负 , 那么函数 f(x) 在x0处没有极限.
7. 函数存在极值第二充分条件
设函数 f(x) 在点x0处具有二阶导数且 f`(x)=0,f"(x0)≠0, 那么:
①当f"(x0)<0时 , 函数 f(x)在x0处取得极大值;
②当f"(x0)>0时 , 函数 f(x)在x0处取得极小值.
8. 平面曲线凹凸性判定方法
设函数 y=f(x) 在[a,b]上连续 , 在(a,b)内具有一阶和二阶导数 , 那 :
(1) 若在 (a,b) 内f"(x0)>0, 则函数 f(x) 在 [a,b] 上图形是凹的;
(2) 若在 (a,b) 内f"(x0)<0, 则函数 f(x) 在 [a,b] 上图形是凸的.
9. 拐点及其判定方法
(1) 拐点的定义:曲线凹与凸的分界点称为曲线的拐点.
(2) 拐点存在的必要条件:若(x0,f(x0))是曲线 y=f(x) 的拐点 , 则在x0两侧f'(x)异号 .
(3) 拐点存在的充分条件:若函数 f(x) 在x0处 ,f'(x0)=0( 或f'(x0)不存在),如果在x0的两侧f"(x0)保持异号,则(x0,f(x0))为曲线 y=f(x)的拐点 ; 如果在x0的两侧f"(x0)保持同号 , 则(x0,f(x0))不是拐点 .
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