2.2 微分中值定理及导数的应用
例 5   证明|sinx₂-sinx₁|≤|x₂-x₁|.
证 设 f(x)=sinx.
当x₁=x₂时不等式当然成立 .
当 x₁≠x₂时，不妨设x₁<x₂,f(x)=sinx在[x₁,x₂]上连续可导 . 对f(x)在[x₁,x₂]运用中值定理，得,
，
即 |sinx₂-sinx₁|≤|x₂-x₁|.
例 6 求极限 .
解 所给极限为“ ”型，可以利用洛必达法则求解 .

例 7 求 .
解 所给极限为“ 0. ∞”型，可先变形
.
例 8 求 .
解 这是“∞ - ∞”型未定式，先通分，再运用洛必达法，则
（ * ）.
说明 如果在上述（ * ）处，利用等价无穷小量代换：当 x → 0 时,e_x-1~x，则可以简化运算：
原式
在上述（ ** ）处仍然可以利用等价无穷小量代换求解 .

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