4.1 多元函数微分学
     四、典型例题分析
例 5 设z=(x²+y²)e^xy, 求 , .
解 令u=x²+y²,v=xy, 则z=ue^v.
,
.
例 6 设函数z=z(x,y)由方程x²+z²=2ye^x确定 , 求 , .
解法一 设F(x,y,z)=x²+z²-2ye^x. 将F(x,y,z)分别对x,y和z求偏导数 , 得 F'_x (x,y,z)=2x, F'_y (x,y,z)=-2e^x, F'_z (x,y,z)=2z-2ye^x.
则有
,.
解法二 把原方程x²+z²=2ye^x的两边对x求偏导数 , 将方程中的z看作是x,y的函数z=z(x,y), 从而有
, , .
同理 , 原方程两边对y求偏导数 , 得
, , .
例 7 求函数f(x,y)=x³+8y³-6xy+5的极值 .
解 求函数f(x,y)的一阶偏导数 : f'_x(x,y)=3x²-6y,f'_x(x,y)=3x²-6y, f'_y(x,y)=24y²-6x. 由极值存在的必要条件 , 求驻点的坐标 . 解方程组:

由方程 (1), 得y=1/2x². 代入方程 (2), 得4X1/4x⁴-x=0, x(x³-1)=0,解得x₁=0,x₂=1;y₁=0,y₂=1/2. 求得函数f(x,y)的两个驻点M₁(0,0), M₂(1,1/2).求函数f(x,y)的二阶偏导数 :f"_xx(x,y)=6x,f"_xy(x,y)= -6, f"_yy(x,y)=48y.在驻点M₁(0,0)处 :A=f"_xx(0,0)=0, B=f"_xy(0,0)= -6 ,C=f"_yy(0,0) =0,B²-AC=(-6)²-0=36>0.根据二元函数极值存在的充分条件可知 ,f(0,0)=5不是f(x,y)的极值 .在驻点M₂(1,1/2)处 :A=:f"_xx(1,1/2)=6,B= f"_xy(1,1/2)= -6 , C=f"_yy(1,1/2)=24,B²-AC=(-6)²-6X24= -108<0 根据二元函数极值存在的充分条件可知 ,f(1,1/2)=4是f(x,y)的极小值 .
例 8 若函数f(x,y)=2x²+ax+xy²+by+2在点(1,-1)处取得极值 , 试确定常数a和b,f(1,-1)是极大值还是极小值 ?
解 根据二元函数极值存在的必要条件 , 必有
因为 f'_x(x,y)=4x+a+y², f'_y(x,y)=2xy+b,则有

解得a= -5,b=2, 所以有f(x,y)=2x²-5x+xy²+2y+2.求f(x,y)的二阶偏导数 :f"_xx(x,y)=4,f"_xy(x,y)=2y, f"_yy(x,y)=2x,A=f"_xx(1,-1)=4,B=f"_xy(1,-1) = -2 , C=f"_xy(1,-1)=2,B²-AC=(-2)²-4X2= -4<0,且A=4>0.根据二元函数极值存在的充分条件可知 ,f(1,-1)=2是函数f(x,y)的极小值 .

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