1.1.4  次插值

 

现在考虑一般形式的Lagrange插值多项式。

问题3　设已知个互异节点上的函数值，求作一个形如的次式，使满足条件。其中,称为次Lagrange插值基函数。

据插值问题的唯一性,并依据线性和二次Lagrange插值基函数的性质，我们有理由推测：也应满足条件

容易验证，在此条件下

因此,问题3可归结为：构造满足条件的次式。

下面构造：

由条件可知，具有个零点。因是次式，故有

其中为待定的常数。由条件可得

于是有

或写成

这样便有

称此式为次Lagrange插值公式。引进记号：

于是有

从而可将次Lagrange插值基函数写成

 这时，式可改写为

Lagrange插值公式或具有结构紧凑,便于在微机上实现的特点.

例3　求经过三个样点的插值多项式。

解　由题意可知，三个插值节点及对应的函数值为

 由二次Lagrange插值公式得