1.1.5 插值多项式的余项

 

记

称为插值函数的截断误差或余项。

下面化为便于使用的形式。

定理1.1　假设在上有阶导数，是上的互异节点，则对，存在与其有关的，使

，                                        

证明　当时，显然有，。以下设。根据的特征，它应具有如下形式：

                                                                

其中为待定的函数。为确定它，引进辅助函数：，

此处视为异于节点的一固定点，这样，至少有个互异的零点，据假定，在上具有阶导数，故在上也具有阶导数。于是依Rolle定理可知，在内至少有个互异的零点；在内至少有个互异的零点；依次类推， 于内至少有一个零点。即在内至少存在一点，使得

于是

将它代入式，便得到式。

在式中，若记，便有

，           

或者

。

Lagrange余项定理在理论上有重要价值，它刻画了Lagrange插值的某些基本特征。

注1       通常将插值节点所界定的范围称为插值区间，将函数值待求的点称为插值点。如果插值点位于插值区间内，这种插值过程称为内插，否则称为外推。余项定理表明，外推是不可靠的。

注2       余项中含有高阶导数，这就要求是足够光滑的。如果所逼近的函数光滑性差，则代数插值不一定能奏效。因为代数多项式是任意光滑的，所以原则上只适用于逼近光滑性好的函数。

注3       Lagrange插值与Taylor插值有本质不同。Taylor插值问题是：     求做一个次多项式，使满足条件

对于给定的，若导数值已知，则Taylor插值问题的解为

 

其余项为

由此可以看出，在点邻近会很好地逼近，但Taylor插值要求提供在点处的各阶导数值，这项要求很苛刻，函数的表达式必须相当简单才行。在实际问题中，如果仅仅给出了一系列节点上的函数值，则应采用Lagrange 插值，而不应采用Taylor插值。

注4       如果只提供了的一些离散值，并没给出具体的分析式子

就无法利用公式来估计误差了。这时可采用下面的方法。

考察三个节点。对于插值点，用作线性插值，求出的一个近似值，记为；再用作线性插值求得另一个近似值，记为，依余项定理

  

其中均属于所考察的区间。假设在内改变不大，则

故有

         

式表明，插值结果的误差可以通过两个结果的偏差来

估计。这种直接用计算结果估计误差的方法称为事后估计法。

例4　用事后估计法考察例1的误差。

先取作为节点，例1已求得近似值。设再取作节点，用线性插值可求得另一个结果，依估计式有

用这个误差值来修正结果，可得到新的近似值

而这个修正后的结果恰与例2中二次插值的结果相同。这个有趣的现象并不是偶然的巧合，其中的道理请同学们来思考。

例5　设，并假定已给出数表

试近似估值，并指出精度。

解　利用四点三次Lagrange插值公式，有

其中

故

其误差为

，

式中怎样地依赖于，我们并不清楚，所以只能给出误差的估计值。实际上，由于，所以，，从而由式，有

       

比较有，

真值：      ，

近似值：    ，

真误差：    ，

估计的上界：。