第一章
插值方法
实际问题中碰到的函数是各种各样的,有的表达式很复杂,有的甚至给不出数学式子,只是提供了一些离散数据,譬如某些点上的函数值和导数值。由于问题的复杂性,直接研究函数可能很困难。面对这种情况,一个很自然的想法是,设法将所考察的函数
简单化,就是说,构造某个简单函数
作为
的近似,然后通过处理
获得关于
的结果。这类处理方法称为逼近方法。其中
叫做被逼近函数,
叫做逼近函数,两者之差
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叫做逼近的误差或余项。插值方法是逼近方法的一种。如果要求逼近函数
与被逼近函数
在一系列点
处的函数值或导函数值相等,即满足条件
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则这类逼近问题就是插值问题。
称为
的插值函数,
称为插值节点,
称为插值条件。一般说来,构造插值函数
的办法很多,
既可以是一个代数多项式或三角多项式,也可以是有理多项式;既可以是任意光滑函数,也可以是分段光滑函数。但通常使用的插值函数
是多项式与样条函数。
插值函数
除了用于近似计算
的函数值外,在数值积分,数值微分以及微分方程数值求解等领域中也有重要应用。
本章主要介绍多项式插值。这不仅是因为多项式简单,而且因为在许多情况下,函数
容易用多项式近似地表示出来。
§1.1
Lagrange插值公式
1.1.1
插值问题的提法
设
是实变量
的单值函数,又设
在
个互异节点
处的函数值
为
。我们的问题是:构造一个次数不超过
的多项式
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使
在节点
处满足条件
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这个问题称为
次代数插值问题。
显然,为了确定满足条件
的多项式
,只需确定参数
。由条件
可知,参数
满足如下线性代数方程组:
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因为节点
互异,所以该方程组的系数行列式不为零,故方程组
的解存在且唯一,即上述插值问题的解存在且唯一。所以我们有理由选择一条容易构造插值函数的途径。下面我们先给出插值问题的Lagrange形式。