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第三节 误差传播定律


测量工作中，许多量不是直接观测值，而是观测值的函数。阐述观测值中误差与其函数中误差之间数学关系的定律称为中误差传播定律。利用中误差传播定律即可求得观测值函数的中误差。
观测量与观测量之间的函数关系多种多样，但归纳起来可分为线性关系和非线性关系。


一、线性函数


（一）倍数函数
设未知量Z与未知量X之间，存在倍数关系为
Z=kX （14）
式中，k为常数（无误差，下同）。设X的观测值为x，则Z的计算值z为
z=kx （15）
又设观测值x的中误差为mx，现在要求z的中误差mz。
设x和z的真误差分别为△x和△z，由真误差定义式（1），得，Z= z-△z， X= x-△x，则由（14）、（15）两式可得△x和△z的函数关系为
△z=k△x （16）
若对X共观测了n次，则有
（17）
将上式两边平方，得
（18）
将上式两边同时求和，并除以n，得
（19）
由此可见：观测值与常数乘积的中误差，等于观测值中误差与常数的乘积。
例[3]：在1：500比例尺地形图上，量得两点间的水平距离d=23.4mm，其中误差md=±0.2mm。试求此两点间实地的水平距离D及其中误差mD。
解：依题意，两点间实地水平距离D及其中误差分别为
D=500d=500×23.4=11700mm=11.7m
MD=kmd=500×（±0.2）=±100mm=±0.1m
则最后答案可写为：
D=11.7±0.1m 表示测量值为11.7m，测量中误差为±0.1m。


（二）和或差函数
设有未知量Z为其他两个独立的观测量X，Y的和函数或差函数，可合写为
Z=X±Y （20）
X和Y的观测值分别为x和y，由此得函数的计算值z为
z=x±y （21）
已知x和y的中误差分别为mx和my，现求z的中误差mz。
用前述同样的推导方法，可得：
（22）
由此可见：两独立观测值的代数和的中误差，等于这两个独立观测值中误差平方和的平方根。
当z是一组独立观测值x1、x2、…、xn的和或差函数时，即
z=x1±x2±…±xn （23）
根据上述推导方法，可得函数z的中误差平方为
（24）
式中，为观测值xi 的中误差。特别是，当诸xi为同精度观测值时，有 ，则式（22）可写为

或        
可表述为：n个同精度观测值代数和的中误差等于观测值中误差的 倍。
例 [4 ]：对某△ABC，不等精度观测了两个内角A、B，其值分别为：
∠A=64°21′06″±4″
∠B=70°35′40″±3″
求∠C及其中误差。
解：∠C=180°－∠A－∠B=45°03′14″
由于∠C=180°－∠A－∠B，依公式（3-20），mC2=mA2+mB2=32+42=25
得，mC=±5″
所以，∠C=45°03′14″±5″


（三）一般线性函数
设未知量Z为独立观测量X1，X2，…，Xn的线性函数，即
Z=kiXi (i=1、2、3……) (25)
式中，k1，k2，…，kn为常数。设各观测量的观测值x1，x2，…，xn，其中误差分别为m1，m2，…，mn。则得
(26)
由此可见：线性函数的中误差的平方，等于各常数与其相应观测值中误差乘积的平方和。
例[5]：设有线性函数 z=x1+x2+x3
式中x1，x2，x3为独立观测值，其中误差分别为m1= ±3mm、m2= ±2mm、m3= ±1mm，求z的中误差。
解：按式（26），并将x1、x2、x3的中误差代入后可得


二、非线性函数
设未知量Z与独立观测量X1，X2，…，Xn之间有如下的函数关系
Z=f（X1，X2，…，Xn） （27）
设X1，X2，…，Xn的观测值为x1，x2，…，xn，其中误差分别为m1，m2，…，mn。由观测值求得函数的计算值为
z=f（x1，x2，…，xn） （28）
求上述函数的全微分，得
式中， 是函数关于各变量x1，x2，…，xn的偏导数，若以观测值代入，则它们皆为常数，并以真误差的符号“△”替代微分的符号“d”，因而上式可认为是线性函数。
由此可见：一般函数的中误差的平方，等于该函数各观测值的偏导数与相应观测值中误差乘积的平方和。
于是，求非线性函数的中误差的方法可归纳为以下步骤：
1.根据问题列出函数关系式

式中，f为函数形式的一般符号，其具体形式由题意确定。
2.对函数求全微分

式中，（i=1，2，…，n）可用观测值代入求得其值。
3.用中误差符号代替微分符号，写出函数中误差与观测值中误差之间的关系式：

应当指出的是，只有各观测值相互独立，即观测值之间不存在函数关系时，才能应用误差传播定律。
例[6]：已知一条边长D=200±0.02m，该边坐标方位角α=52°46′40″±20″。试求纵坐标增量的中误差。
解：
1.列出函数关系式

2.求全微分

3.将微分式写成中误差式并求出函数中误差，得

(52°46′40″) （52 °46′40″）

所以，