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第六节 由真误差计算中误差


在测量工作中，虽然观测量的真值不容易得到，但有时由若干个观测量（如长度、角度和高差等）所构成的函数，其真值是知道的，于是这些观测值函数的真误差可以求得。这种情况下，就可以用真误差来计算中误差。
下面介绍两个在测量工作中经常用到的由真误差计算中误差的公式。


一、由三角形闭合差求测角中误差--菲列罗公式
三角形三个内角和的真值为180°。设等精度观测了三角网中各三角形的各个内角 、 、 ，求得每个三角形的闭合差ωi，即
（44）
可见，闭合差 是三角形内角和的真误差。于是，按中误差定义，三角形内角和的中误差为

式中[ωω]为三角形闭合差的平方和，n为三角形个数。
∵
设测角中误差为mβ，三角形内角和的关系式为线性关系。从而，内角和的中误差为

于是，得测角中误差为
（45）
式（45）就是由三角形闭合差计算的测角中误差公式，由德国测量学家菲列罗所创，所以称为“菲列罗公式”。在三角测量中，常用它来初步评定测量的精度。


二、用同精度双次观测列差值求观测值中误差
在测量工作中，对一些量观测两次（如距离测量时进行往测与返测），这种观测称为双次观测。对一个未知量进行的两次观测，称为一个观测对。多个双次观测值称为双次观测列。
对同一个量两次观测值的差，设为 ，则有

显然，双次观测值之差的真值为零， 就是差值的真误差。根据中误差定义，差值的中误差为

式中，n为双次观测的个数。上式是计算双次观测差值的中误差公式，
∵
∴ （46）此式为单个观测值的中误差。
观测量的最或然值是两次观测结果的算术平均值，即

根据中误差传播定律，平均值的中误差应为
（47）

 

（三）本章重点：
识记：偶然误差的统计特性
若我们按照上述方法再做一些测量实验，其测量结果仍会显示出类似的规律。通过大量测量实验统计结果，特别是当观测次数很多时，可总结出偶然误差的如下特性：
（1）在一定观测条件下，偶然误差的绝对值不会超出一定限值（有界性）。
（2）绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会要多（或称概率大，密集性）。
（3）绝对值相等的正、负误差出现的机会相等（对称性）。
（4）当观测次数n无限增加时，误差的算术平均值（数学期望）趋近于零。
领会：相对误差：在进行精度评定时，有时仅利用绝对误差还不能反映测量的精度。因为有些量，如长度，用绝对误差不能全面反映观测精度。