第三章 数据分布特征的测度

第三节 偏态和峰度的测度

集中趋势和离散程度是数据分布的两个重要特征，但要全面了解数据分布的特点，还需要知道数据分布的形状是否对称、偏斜的程度以及分布的扁平程度等。偏态和峰度就是对这些分布特征的进一步描述。

一.偏态及其测度

偏态（ Skewness ）是对分布偏斜方向和程度的测度。我们在第三章中曾经讲到，利用众数、中位数和均值之间的关系就可以判断分布是否对称、左偏还是右偏。显然，判别偏态的方向并不困难，但要测度偏斜的程度则需要计算偏态系数。

偏态系数的计算公式为：

,式4－30

从式中可以看出，它是离差三次方的平均数再除以标准差的三次方。当分布对称时，离差三次方后正负离差可以相互抵消，因而 α₃ 的分子等于 0 ，则 α₃ ＝ 0 ；当分布不对称时，正负离差不能抵消，就形成了正或负的偏态系数 α₃ 。当 α₃ 为正值时，表示正偏离差值较大，可以判断为正偏或右偏；反之，当 α₃ 为负值时，表示负离差数值较大，可判断为负偏或左偏。在计算 α₃ 时，将离差三次方分平均数除以 σ³ 是将偏态系数转化为相对数， α₃ 的数值越大，表示偏斜的程度就越大。

二.峰度及其测度

峰度（ Kurtosis ）是分布集中趋势高峰的形式。它通常是与正态分布相比较而言的。若分布的形状比正态分布更瘦更高，则称为尖峰分布，若比正态分布更矮更胖，则称为平峰分布，如图 4 － 4 所示。

图4-4

峰度系数是离差四次方的平均数再除以标准差的四次方，计算公式为：

,式4－30

公式中将离差的四次方除以 σ⁴ 是为了将峰度系数转化为相对数。用峰度系数说明分布的尖峰和扁平程度，是通过与正态分布的峰度系数进行比较而言的。由于正态分布的峰度系数为 3 ，当σ⁴>3 时为尖峰分布，当 σ⁴<3 时为平峰分布。