第四节 复合系统工作可靠性问题  (1) (2)
    某种工作系统由n个部件串联组成，称部件正常工作的概率为部件的可靠性，称整个系统正常工作的概率为系统的可靠性。如图：
    
    在这样的串联系统中，只要有一个部件失灵，整个系统就不能正常工作。为了提高系统工作的可靠性，可以给各部件设置备用件，并且设计备用件自动投入装置，一旦部件损坏，则备用件自动投入运行。显然，部件的备用件越多，部件的工作可靠性就越大，从而，整个系统的工作可靠性也就越大。但是备用件多了，整个系统的成本、重量、体积都相应增大。而系统所允许的总成本、总重量、总体积往往都是有限的，因此，复合系统工作可靠性问题主要讨论在上述限制条件下，如何选择各部件的备用件数量，使系统的工作可靠性最大。下面我们先研究这类问题的数学模型。
    设部件i 装有ui个备用件时，它正常工作的概率为。因此整个系统正常工作的概率为：
        
    设装部件i 的一个备用件费用为ci元，要求总费用不超过C元，则这个问题只有一个约束条件，它的静态模型为：
        
    这是一个非线性规划问题。象资源分配问题一样，可以用动态规划方法求解这类问题。不过与以前的资源分配问题不同，本问题的总效果不是等于各阶段效果的和，而是各阶段效果的乘积。下面构造它的动态规划模型：
    以向各部件分配备用件的顺序为阶段 k=1，2，…，n;
    以k阶段初拥有的未分配的费用数为状态变量；决策变量表示部件k拥有的元件数，则
    
    记为部件k至部件n最大工作可靠性，则