第四章 数据分布特征的测度

第一节 集中趋势的测度

三.定距和定比数据：均值

均值（ Mean ）也称算术平均数（ Arithmetic mean ），是全部数据的算是平均。它是数据集中趋势的最主要测度量，主要适用于定距数据和定比数据，但不适用于定类数据和定序数据。均值有不同的计算形式和计算公式。

<一> 简单均值和加权均值

1.据未经分组整理的原始数据计算均值。设一组数据为 X1,X2 ,...,Xn则均值X（读作X－bar）的计算公式为

，式4－5

用这个式子计算出来的均值称为简单均值（ Simple mean ），其数值的大小只和变量值的大小有关。

2. 根据分组整理的数据计算均值。设原始数据被分成 K 组，各组的组中值为 X1,X2 ,...,Xn，各组变量值出现的频数分别为 F1,F2,...,F_k则均值的计算公式为：

，式4－6

用这个式子计算出来的均值称为加权均值（ Weighted mean ），其数值的大小不仅受各组变量值（ Xi ）大小的影响，而且受各组变量值出现的频数即权数（ Fi ）的影响。如果某一组的权数较大，说明该组的数据较多，那么该组数据的大小对均值的影响就越大，反之则越小。实际上，将 4-6 式变形为下面的形式，能更清楚地看出这一点。

，式4－7

由 式4－7可以清楚地看出，均值受各组变量值（ Xi ）大小和各组权数大小的影响。当我们掌握的不是各组变量值出现的频数，而是频率时，也可直接根据这个式子计算均值。

3. 均值在统计学中具有重要的地位，它是进行统计分析和统计推断的基础。首先，从统计思想上看，均值是一组数据的中心所在，是数据误差相互抵消后的必然性结果。其次，均值具有下面以下重要的数学性质，这些数学性质在实际中有着广泛的应用，同时也体现了均值的统计思想。

（ 1 ）各变量值与其均值的离差之和等于零，即

（ 2 ）各变量值与其均值的离差平方和最小，即