第三章 数据分布特征的测度

第二节 离散和程度的测度

b. 样本方差和标准差。样本方差与总体方差在计算上的区别是：总体方差是用数据个数或总频数去除离差平方和，而样本方差则是用样本数据个数或总频数减 1 去除离差平方和，其中样本数据个数减 1 即 n-1 称为自由度（ Degree of freedom ）。设样本方差为 Sn-1 ，根据未分组数据和组距分组数据计算样本方差的公式 分别为：

，式4－20～式4－23

当 n 很大时，样本方差 S²_n-1 与总体方差 σ² 的计算公式结果相差很小，这时样本方差也可以用总体方差的公式来计算。

为什么样本方差是用自由度 n-1 去除呢？从字面含义来看，自由度是指一组数据中可以自由取值的个数。当样本数据的个数为 n 时，若样本均值 X 确定后，只有 n-1 个数据可以自由取值，其中必有一个数据不能自由取值。从实际应用的角度看，在抽样估计中，当我们用样本方差 S_n-2 去估计总体方差 σ² 时，它是 σ² 的无偏估计量。

方差和标准差也是根据全部数据计算的，它反映了每个数据与其均值相比平均相差的数值，因此它能准确地反映出数据的离散程度。与平均差相比，方差在数学处理上是通过平方消去离差的正负号，更便于数学上的处理。因此，方差和标准差是实际中应用最广泛的离散程度测度值。