第四节 单服务台排队系统模型(M/M/1)     (1) (2) (3) (4) (5) (6)
    下面再计算：顾客在系统中停留时间超过t的概率是多少？假定一个顾客来到系统时，系统中已有n个人，则该顾客在系统中的停留时间应该是系统对前n个顾客的服务时间加上对他的服务时间。若分别用表示前n个顾客的服务时间, 表示对该顾客的服务时间，令 ，则满足n+1阶爱尔朗分布，参数为μ。
    可以证得其密度函数为
    
    顾客在系统中停留时间小于t的概率
    
    即W服从参数为μ-λ的负指数分布。
    所以顾客在系统中停留时间大于t的概率
    
    例1 某超级市场，顾客按普阿松流来到唯一的收款台。已知平均每小时来到20人，记价收款时间服从负指数分布，平均每个顾客需2.5分钟，试求该超级市场收款台的有关运行指标。
    解：根据题意，这是M/M/1/∞/∞模型，
    λ＝20/60=1/3，μ＝1/2.5，ρ＝λ/μ＝5/6
    系统有关指标计算如下：
    ⑴ =1-ρ=1-5/6=1/6，忙期概率为 1-=ρ=5/6
    ⑵系统内顾客平均值 Ls= =1/3÷（1/2.5-1/3）=5（人）
    ⑶排队等待顾客平均值Lq=Ls-λ/μ=5-5/6=4.167 （人）
    ⑷每个顾客在系统内平均逗留时间 Ws=Ls /λ=5÷（1/3）=15（分钟）
    ⑸每个顾客在队列中平均逗留时间Wq= Ws-1/μ=12.5（分钟）