（二）二阶系统的阶跃响应

在工程实际中，三阶或三阶以以上的系统，常可以近似或降阶为二阶系统处理。

图3-10是典型二阶系统的结构图，它的闭环传递函数为

由上式可看出，ζ 和ωn是决定 二阶系统动态特性的两个非常重 要参数，其中ζ 称为阻尼比，ωn称为无阻尼自然振荡频率.

例如图2-2中R-Ｌ-Ｃ电路，其传递函数为

式中，无阻尼自然振荡频率

就是电路当R = 0时的谐振频率；阻尼比

又如图2-3中电枢控制的直流电动机，输出ω 与电枢电压Ua之间传递函数为

或

式中

由式(3.14)描述的系统特征方程为

这是一个二阶的代数方程，故有两个特征方程根，分别为

显然，阻尼比不同，特征根的性质就不同，系统的响应特性也就不同。
下面分别对二阶系统在0< ζ<1， ζ =1和 ζ>1三种情况下的阶跃响应进行讨论。

1. 0<ζ<1，称为欠阻尼情况

按式(3.14)，系统传递函数可写为

它有一对共轭复数根

式中 称为阻尼振荡频率。

在初始条件为零，单位阶跃信号r(t)=1(t)作用下，系统输出的拉氏变换为

对式(3.19)求拉氏反变换，则得系统的单位阶跃响应c(t)：

它是一衰减的振荡过程，如图3-11所示，其振荡频率就是阻尼振荡频率 ，而其幅值则按指数曲线（响应曲线的包络线）衰减，两者均由参数ζ和ωn 决定。

系统的误差则为

当t→∞时，稳态误差e (∞)＝０

若ζ =０，称为无阻尼情况，系统的特征根为一对共轭虚根，即

此时单位阶跃响应为

它是一等幅振荡过程，其振荡频率就是无阻尼自然振荡频率ωn 。当系统有一定阻尼时，ωd总是小于ωn 。

2. ζ =１，称为临界阻尼情况

此时系统有两个相等的实数特征根：

系统输出的拉氏变换为

取C(s)的拉氏反变换，求得临界阻尼二阶系统的单位阶跃响应为

响应曲线如图3-12所示，它既无超调，也无振荡，是一个单调的响应过程。

（三）二阶系统的瞬态响应性能指标

通常，工程中往往习惯把二阶系统调整为欠阻尼过程，因为此时系统的响应较快，且平稳性也较好。

对于单位阶跃输入作用下的欠阻尼系统，有：

1. 上升时间tr

按式(3.20)，令c(tr)=1，就可求得

因此

式中

由式(3.35)可见，要使系统反应快，必须减小tr。因此当ζ一定，ωn必须加大；若ωn为固定值，则ζ越小，tr也越小。

2. 峰值时间tp

按式(3.20)，对c(t)求一阶导数，并令其为零，可得到

到达第一个峰值时

所以

上式表明，峰值时间tp与有阻尼振荡频率ωd成反比。当ωn一定, ζ越小，tp也越小。

3. 最大超调量σp

以t = tp代入式(3.20)，可得到最大百分比超调量

由上式可见，最大百分比超调量完全由z决定，z越小，超调量越大。当ζ =０时，σp %= 100%，当ζ =１时，σp %=０。σp与ζ的关系曲线见图3-16。

4. 调节时间ts

根据定义可以求出调节时间ts，如图3-17所示。图中T=1/ζωn ，为c(t)包络曲线的时间常数，在ζ =0.69(或0.77)，ts有最小值，以后ts随ζ的增大而近乎线性地上升。图3-17中曲线的不连续性是由于在ζ虚线附近稍微变化会引起ts突变造成的，如图3-18所示。

ts也可由式(3.21)的包络线近似求得，即令e(t)的幅值

当０＜ζ ＜0.9时，则

或

由此可见, ζωn大，ts就小，当wn一定，则ts与ζ成反比，这与tp，tr与ζ的关系正好相反。
根据以上分析，如何选取ζ和ωn来满足系统设计要求，总结几点如下：
(1) 当ωn一定，要减小tr和tp，必须减少ζ值，要减少ts则应增大ζωn值，而且ζ值有一定范围，不能过大。
(2) 增大ωn ，能使 tr ， tp 和 ts 减少。
(3) 最大超调量σp只由ζ决定, ζ越小，σp越大。所以，一般根据σp 的要求选择ζ值，在实际系统中，ζ值一般在0.5～0.8之间.

四、线性定常系统的重要特性

对于初始条件为零的线性定常系统，在输入信号r(t)的作用下，其输出c(t)的拉氏变换为

若系统的输入为 其拉氏变换为

这时系统的输出为

当系统输入信号为原来输入信号的导数时，系统的输出为原来输出的导数。

同理，若系统的输入为 ,其拉氏变换为

此式说明，在零初始条件下，当系统输入信号为原来输入信号对时间的积分时，系统的输出则为原来输出对时间的积分。

由上可以推知：
(一)由于单位脉冲信号是单位阶跃信号对时间的一阶导数，所以单位脉冲响应是单位阶跃响应对时间的一阶导数.
(二)由于单位斜坡信号和单位抛物线信号是单位阶跃信号对时间的一重和二重积分，所以单位斜坡响应和单位抛物线响应就为单位阶跃响应对时间的一重和二重积分。