一、绘制根轨迹的依据

根轨法的基本任务在于，由已知的开环零、极点的分布及根轨迹增益，通过图解的方法找出闭环极点。 由零变到无穷大时，闭环系统特征方程的根在S平面上运动的轨迹。因此，系统的特征方程便是绘制根轨迹的依据。系统的特征方程为

当系统有m个开环零点和n个开环极点时，特征方程可写成

式中，Zj为已知的开环零点，Pi为已知的开环极点，Kr为可从零变到无穷的开环根轨迹增益。我们把上式称为根轨迹方程，由根轨迹方程，可以画出当Kr由零变到无穷时系统的根轨迹。

在绘制根轨迹时，参数不限定是根轨迹增益Kr，可为系统的其它参数（如时间常数、反馈系数等）这时只要把系统的特征方程化为上式，将感兴趣的参数取代根轨迹增益Kr的位置就可以绘制根轨迹。

根轨迹方程实际上是一个向量方程，用模和相角的形式表示就是

可得到满足系统特征方程的幅值条件和相值条件为
幅值条件：
相值条件：

设系统的开环传递函数为

满足幅值条件的表达式为

满足相角条件的表达式为

综上分析，可以得到如下结论：

⑴绘制根轨迹的相角条件与系统开环根轨迹增益 值的大小无关。即在S平面上，所有满足相角条件的点的集合的构成系统的根轨迹图。即相角条件是绘制根轨迹的主要依据。

⑵绘制根轨迹的幅值条件与系统开环根轨迹增益Kr值的大小有关。即Kr值的变化会改变系统的闭环极点在S平面上的位置。

⑶在系统参数确定的情况下，凡能满足相角条件和幅值条件的S值，就是对应给定参数的特征根，或系统的闭环极点。

⑷由于相角条件和幅值条件只与系统的开环传递函数有关，因此，已知系统的开环传递函数便可绘制出根轨迹图。

二、绘制根轨迹的基本规则

通常，我们把以开环根轨迹增益 为可变参数绘制的根轨迹叫做普通根轨迹（或一般根轨迹）。绘制普通根轨迹的基本规则如下。

规则一 根轨迹的起点和终点
幅值条件可写成
当Kr=0，必须有，此时，系统的闭环极点与开环极点相同(重合)，我们把开环极点称为根轨迹的起点，它对应于开环根轨迹增益Kr=0 。
当Kr=∞时，必须有 ，此时，系统的闭环极点与开环零点相同(重合)，我们把开环零点称为根轨迹的终点，它对应于开环根轨迹增益Kr=∞。

下面分三种情况讨沦。
1．当m=n时，即开环零点数与极点数相同时，根轨迹的起点与终点均有确定的值。
2．当m<n时，即开环零点数小于开环极点数时，除有m条根轨迹终止于开环零点(称为有限零点)外，还有n-m条根轨迹终止于无穷远点(称为无限零点)。如例6-1。
3．当m>n时，即开环零点数大于开环极点数时，除有n条根轨迹起始于开环极点(称为有限极点)外，还有m-n条根轨迹起始于无穷远点(称为无限极点)。这种情况在实际的物理系统中虽不会出现，但在参数根轨迹中，有可能出现在等效开环传递函数中。

结论：根轨迹起始于开环极点Kr=0，终止于开环零点（Kr=∞或Kr→∞)；如果开环极点数n大于开环零点数m，则有n-m条根轨迹终止于S平面的无穷远处(无限零点)，如果开环零点数m大于开环极点数n，则有m-n条根轨迹起始于S平面的无穷远处(无限极点)。

规则二 根轨迹的分支数、连续性和对称性

根轨迹的分支数即根轨迹的条数。既然根轨迹是描述闭环系统特征方程的根（即闭环极点）在S平面上的分布，那么，根轨迹的分支数就应等于系统特征方程的阶数。

由例4-1看出，系统开环根轨迹增益Kr(实变量）与复变量S有一一对应的关系，当Kr由零到无穷大连续变化时，描述系统特征方程根的复变量S在平面上的变化也是连续的，因此，根轨迹是n条连续的曲线。

由于实际的物理系统的参数都是实数，如果特征方程有复数根，一定是对称于实轴的共轭复根，因此，根轨迹总是对称于实轴的。

结论：根轨迹的分支数等于系统的闭环极点数。根轨迹是连续且对称于实轴的曲线。

规则三 实轴上的根轨迹

若实轴上某线段右侧的开环零、极点的个数之和为奇数，则该线段是实轴上的根轨迹。

例4-3 设系统的开环传递函数为

其中P1 、P2 、P3 、Z1 、Z2 为实极点和实零点，P4、P5、Z4、Z5 为共轭复数零、极点，它们在S平面上的分布如图4-4所示，试分析实轴上的根轨迹与开环零点和极点的关系。 实轴上的根轨迹必须满足绘制根轨迹的相角条件，即

为确定实轴上的根轨迹，选择s0作为试验点。图6-4中，开环极点到s0点的向量的相角为
开环零点到s0点的向量的相角为

确定实轴上的某点是否在根轨迹上时，可以不考虑复数开环零、极点对相角的影响。

实轴上，s0点左侧的开环极点P3和开环零点z2构成的向量的夹角均为零度，而s0点右侧的开环极点P1 、P2和开环零点z1构成的向量的夹角均为π。若s0为根轨迹上的点，必满足相角条件，

由以上分析知，只有s0点右侧实轴上的开环极点和开环零点的个数之和为奇数时，才满足相角条件。