第三章已经介绍，闭环控制系统的稳定性由系统特征方程根的性质唯一确定。对于三阶以下系统，解出特征根就能判断系统是否稳定。三阶以上的高阶系统，求解特征根通常都很困难，前面介绍了两种判别系统稳定性的方法，基于特征方程的根与系数关系的劳斯判据和根轨迹法。

奈奎斯特（Nyquist）稳定判据（简称奈氏判据）是判断系统稳定性的又一重要方法。它是将系统的开环频率特性与复函数 位于S平面右半部的零、极点数目联系起来的一种判据。奈氏判据是根据系统的开环频率特性判断系统稳定性的一种图解法。由于系统的开环特性可用解析法或实验法获得，因此，应用奈氏判据分析系统的稳定性即方便又实用。奈氏判据还有助于建立相对稳定性的概念。

一、幅角定理

幅角定理又称映射定理，它是建立在复变函数理论基础上的。简要地介绍幅角定理：设有一复变函数 称之为辅助函数，其中G(s)H(s) 是系统的开环传递函数.

通常可写成如下形式

式中Pj(j=0,1,2,……) 是系统的开环极点，将式（4-106）代入式（4-105）得

比较式（4—107）和式（4—106）可知，辅助函数F(s) 的零点Zi(i=0,1,2,……) 等于系统闭环传递函数的极点，即系统特征方程1+G(s)H(s)=0 的根。因此，如果辅助函数F(s) 的零点都具有负的实部，即都位于S平面的左半部，系统就是稳定的，否则系统便不稳定。

一）S平面与F(s) 平面的映射关系

假设复变函数F(s) 为单值函数，且除了S平面上有限的奇点外，处处都为连续的正则函数,也就是说F(s) 在S平面上除奇点外处处解析， 那么，对于S平面上的每个解析点，在F(s) 平面上必有一点（称为映射点）与之对应。

例如，当系统的开环传递函数为
则其辅助函数是

除奇点 外，在S平面上任取一点，如
则

如图4-37所示，在F(s)平面上有点F(s)=0.95-j0.15 与S平面上的点S1 对应,F(s1)就叫做s1=1+j2 在F(s)平面上的映射点。

如图4-38所示，如果解析点S1 在S平面上沿封闭曲线Γs ,(Γs 不经过F(s)的奇点)按顺时针方向连续变化一周，那么辅助函数F(s)在 F(s)平面上的映射也是一条封闭曲线Γf，但其变化方向可以是顺时针的，也可以是逆时针的，这依据辅助函数F(s) 的性质而定。

（二）幅角定理（映射定理）

设F(s) 在S平面上，除有限个奇点外，为单值的连续正则函数，若在S平面上任选一封闭曲线Γs，并使Γs不通过 的奇点，则S平面上的封闭曲线Γs 映射到F(s)平面上也是一条封闭曲线ΓF。当解析点s按顺时针方向沿Γs 变化一周时，则在 平面上， ΓF 曲线按逆时针方向旋转的周数N（每旋转2?弧度为一周），或 ΓF 按逆时针方向包围 F(s)平面原点的次数，等于封闭曲线?s内包含F(s) 的极点数P与零点数Z之差。即 N=P-Z （5-108）,式中，若N>0，则ΓF按逆时针方向绕F(s)平面坐标原点N周；若N<0，则ΓF按顺时针绕 F(s)平面坐标原点N周；且若 N=0，则?F不包围F(s)平面坐标原点。

在图4-38中,在S平面上有三个极点P1、P2 、P3和三个零点Z1、Z2、Z3 。被Γs 曲线包围的零点有Z1、Z2两个，即Z=2，包围的极点只有P2 ，即P=1，由式（4-108）得
N=P-Z=1-2=-1

说明Γs 映射到 F(s)平面上的封闭曲线ΓF顺时针绕F(s)平面原点一周。
由幅角定理，我们可以确定辅助函数 被封闭曲线Γs 所包围的极点数P与零点数 Z的差值P-Z。

前面我们已经指出， 的极点数等于开环传递函数 的极点数，因此当我们从 平面上确定了封闭曲线ΓF 的旋转周数N以后，则在 S 平面上封闭曲线Γs 包含的零点数Z（即系统的闭环极点数）便可简单地由下式计算出来Z=P-N （4-109）

封闭曲线Γs和ΓF 的形状是无关紧要的，它不影响上述结论。

关于幅角定理的数学证明请读者参考有关书籍，这里仅从几何图形上简单说明。

设有辅助函数为

其零、极点在S平面上的分布如图 4—39 所示，在 S平面上作一封闭曲线Γs ， Γs不通过上述零、极点，在封闭曲线Γs 上任取一点F(s1) , 其对应的辅助函数的幅角应为

当解析点S1沿封闭曲线Γs按顺时针方向旋转一周后再回到 s1 点，从图中可以发现，所有位于封闭曲线Γs 外面的辅助函数的零、极点指向s1 的向量转过的角度都为0，而位于封闭曲线Γs 内的辅助函数的零、极点指向s1 的向量都按顺时针方向转过2弧度（一周）。这样，对图4—39（a），Z=1，P=0， ，即 N=－1， 绕F(s1)平面原点顺时针旋转一周；对图4—39（b），Z=0，P=1，=-2π ，即N=1， 绕F(s1)平面原点逆时针旋转一周；对图4—39（c），Z=1，P=1，=2π ，即N=0，不包围F(s1) 平面原点。将上述分析推广到一般情况则有
=2π(P-Z)=2πN (4-112)
由此得到幅角定理表达式为 N=P-Z （4-113）

二、基于辅助函数F(s)的奈氏判据

为了分析反馈控制系统的稳定性，只须判断是否存在S平面右半部的闭环极点。为此，在S平面上作一条完整的封闭曲线Γs，使它包围S平面右半部且按顺时针环绕。如图5—40所示，该曲线包括S平面的整个虚轴（由ω=-∞到ω=+∞）及右半平面上以原点为圆心，半径为无穷大的半圆弧组成的封闭轨迹。这一封闭无穷大半圆称作奈氏轨迹。显然，由奈氏轨迹包围的极点数P和零点数Z，就是F(s)位于S平面右半部的极点数和零点数。

前面已经指出，辅助函数 的极点等于系统的开环极点，的零点等于系统的闭环极点。因此，如果奈氏轨迹中包围的零点数Z=0，系统是稳定的，此时由映射到 平面上的封闭曲线ΓF 逆时针绕 平面坐标原点的周数应为 N=P （4-114）
由此得到应用幅角定理分析系统稳定性的判据如下：

若辅助函数 的解析点S沿奈氏轨迹Γs 按顺时针连续环绕一周，它在
平面上的映射ΓF 按逆时针方向环绕其原点 P周，则系统是稳定的，否则是不稳定的。

通常情况下，开环系统是稳定的，即S平面右半部的开环极点数P=0。此时系统稳定的充分条件是不包围 平面坐标原点，即 N=0。