引言

控制系统的微分方程：是在时域描述系统动态性能的数学模型，在给定外作用及初始条件下，求解微分方程可以得到系统的输出响应。但如果系统的某个参数变化或者结构形式改变时，便需要重新列写并求解微分方程。

传递函数：对线性常微分方程进行拉氏变换，得到的系统在复数域的数学模型----传递函数。

传递函数不仅可以表征系统的动态特性，而且可以研究系统的结构或参数变化时对系统性能的影响。传递函数是经典控制理论中最基本、最重要的概念 。

一、传递函数的概念

图2-4所示的RC电路中电容的端电压 。根据克希霍夫定律，可列写如下微分方程：

消去中间变量i(t)，得到输入与输出 之间的线性定常微分方程:

现在对上述微分方程两端进行拉氏变换，并考虑电容上的初始电压 ，得:

式中 Uc(s)—— 输出电Uc(t)的拉氏变换；Ur(s)—— 输入电压Ur(t)的拉氏变换。

由上式求出Uc(s)的表达式:

当输入为阶跃电压ur(t)= u0·1(t)时，对Uc(s)求拉氏反变换，即得Uc(t)的变化规律:

式中第一项称为零状态响应，由U(t)决定的分量；第二项称为零输入响应，由初始电压Uc (0)决定的分量。

图2-5表示各分量的变化曲线，电容电压Uc (t)即为两者的合成。

在式(2.19 )中，如果把初始电压Uc(0)也视为一个输入作用，则根据线性系统的叠加原理，可以分别研究在输入电压Ur(t)和初始电压Uc(0)作用时，电路的输出响应。若Uc(0) =0，则有 :

当输入电压ur(t)一定时，电路输出响应的拉氏变换Uc(s)完全由1/(RCs+1)所确定，式(2.20)亦可写为:

当初始电压为零时，电路输出函数的拉氏变换Uc(s)与输入函数拉氏变换Ur(s)之比，是一个只与电路结构及参数有关的函数 。

式(2.21)来表征电路本身特性，称做传递函数，记为：

式中T=RC。显然，传递函数G(s)确立了电路输入电压与输出电压之间的关系。

传递函数可用图2-6表示。该图表明了电路中电压的传递关系，即输入电压Ur(s)，经过G(s)的传递，得到输出电压Uc(s)=G(s)Ur(s) 。

线性（或线性化）定常系统在零初始条件下，输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比称为传递函数。

若线性定常系统由下述n阶微分方程描述：

式中c(t)是系统输出量，r(t)是系统输入量，ai (i=1,2,…,n), bj(j=1,2,…,m)是与系统构参数有关的常系数。

令C(s)=L[c(t)]，R(s)=L[r(t)]，在初始条件为零时，对式(2.22)进行拉氏变换，可得到s的代数方程：

由传递函数的定义，线性定常系统的传递函数：

式中 M(s)为传递函数的分子多项式；D(s)为传递函数的分母多项式。

传递函数是在初始条件为零（或称零初始条件）时定义的。控制系统的零初始条件有两方面的含义，一系统输入量及其各阶导数在t =0时的值均为零；二系统输出量及其各阶导数在t =0时的值也为零。