5.6.1 线性离散控制系统的稳定性分析

线性离散控制系统的闭环脉冲传递函数，如图5-30所示，

可求得为：

则线性离散控制系统的特征方程为

考察下式

假定在s平面上任有一点

则通过Z变换，映射到Z平面为

当δ=0，即s平面的虚轴，对应Z平面的单位圆。
当δ<0，即左半s平面对应Z平面的单位圆内。Z平面单位圆内为稳定区域。
当δ>0，即右半s平面对应Z平面的单位圆外部区域，Z平面单位圆外的部分为不稳定域。上面映射关系如图5-31所示。

线性离散控制系统稳定的充分必要条件是：线性离散闭环控制系统特征方程根的模小于1，则线性离散控制系统是稳定的。

例 已知离散控制系统结构如图所示，采样周期T=1秒，分析系统的稳定性。

解：

闭环特征方程

系统特征方程的根有一个在单位圆外，因此，该离散系统不稳定。

在离散系统中，引进双线性变换。
令
或

其中Z和W可写为

将式（5-90）代入式（5-89），有

于是，当=1 ， 即对应Z平面上的单位圆即u=0，为W平面上的虚轴
当<1, 即Z平面上单位圆内的部分，也即稳定域u<0为左半W平面左半平面(稳定域)
当>1 即Z平面上单位圆内外的部分，也即不稳定域u>0, 即右半W平面对应不稳定域。上面映射关系如图5-33所示。