根轨迹法是一种图解方法，它是古典控制理论中对系统进行分析和综合的基本方法之一。由于根轨迹图直观地描述了系统特征方程的根（即系统的闭环极点）在S平面上的分布，因此，用根轨迹法分析控制系统十分方便，特别是对于高阶系统和多回路系统，应用根轨迹法比用其他方法更为方便，因此在工程实践中获得了广泛应用。

本章主要介绍根轨迹的概念，绘制根轨迹的基本规则和用根轨迹法分析自动控制系统的方法。

一﹑根轨迹图
根轨迹图是开环系统某一参数由零变化到无穷时，闭环系统特征方程的根（即闭环极点）在S平面上的变化轨迹。

例6-1 已知单位负反馈系统的开环传递函数为

试分析该系统的特征方程的根随系统参数 的变化在S平面上的分布情况。

解 系统的闭环传递函数

系统的特征方程为
特征方程的根是
设Kr∈〔0, ∞﹚，
当Kr=0 时,s1=0 ;s2=-2。
当0<Kr<1 时 s1与s2为不相等的两个负实根；
当Kr=1 时，s1=s2=-1 为等实根；
为一对共轭复根，其实部都等于-1，虚部随 值的增加而增加；
当Kr →∞时，s1 、s2 的实部都等于-1，是常数，虚部趋向无穷远处 。

该系统特征方程的根随开环系统参数从零变到无穷时在S平面上变化的轨迹如图6-1所示。

当系统参数 为某一确定的值时，闭环系统特征方程的根在S平面上变化的位置便可确定，由此可进一步分析系统的性能。 值的变化对闭环系统特征方程的影响可在根轨迹上直观地看到，因此系统参数对系统性能的影响也一目了然。所以用根轨迹图来分析自动控制系统是十分方便的。上例中，根轨迹图是用解析法作出的，这对于二阶系统并非难事，但对于高阶系统，求解特征方程的根就比较困难了。

如果要研究系统参数的变化对闭环系统特征方程根的影响，需要大量反复的计算。
1948年伊万斯（W·R·EVANS）提出了根轨迹法。该方法不需要求解闭环系统的特征方程，只需依据开环传递函数便可会绘制系统的根轨迹图。

二、开环零、极点与闭环零、极点之间的关系

通常系统的开环零、极点是已知的，因此建立开环零、极点与闭环零、极点之间的关系，有助于闭环系统根轨迹的绘制，并由此引导出根轨迹方程。设控制系统如图6-2所示，闭环传递函数为

前向通路传递函数G(s)和反馈通路传递函数H(s)可分别表示

式中K1 为前向通路增益，K1r 为前向通路根轨迹增益；K2为反馈通路增益，K2r为反馈通路根轨迹增益。

系统的开环传递函数为


K=K1·K2 为系统的开环增益，
Kr=K1r·K2r 为开环系统的根轨迹增益；
m=f+L 为开环系统的零点数，
q=h+h+v 为开环系统的极点数。

将式（6-2）和（6-4）代入（6-1）可得

比较式（6-4）和式（6-5），可得以下结论：
⑴闭环系统根轨迹增益，等于开环系统前向通路根轨迹增益K1r ；对于单位反馈系统，闭环系统根迹增益就等于开环系统根轨迹增益。
⑵闭环零点由开环前向通路传递函数零点和反馈通路传递函数极点所组成；对于单位反馈系统，闭环零点就是开环零点。
⑶闭环极点与开环零点、开环极点以及根轨迹增益Kr 均有关。

根轨迹法的基本任务：由已知的开环零、极点的分布及根轨迹增益，通过图解的方法找出闭环极点, 一旦闭环极点被确定，闭环传递函数的形式便不难确定，因为闭环零点可由式（6-5）直接得到。在已知闭环传递函数的情况下，闭环系统的时间响应可利用拉氏反变换的方法求出，或利用计算机直接求解。

三、根轨迹增益 与开环系统增益K的关系

系统的开环增益（或开环放大倍数）为

式中v是开环传递函数中含积分环节的个数，由它来确定该系统是零型系统（v=0）,Ⅰ型系统 （v=1）或Ⅱ型系统（v=2）等。
将（6-4）代入（6-6）可得

开环系统的根轨迹增益Kr与开环系统的增益K之间仅相差一个比例常数，这个比例常数只与开环传递函数中的零点和极点有关。

由式（6-4）可知，根轨迹增益（或根轨迹放大系数）是系统的开环传递函数的分子﹑分母的最高阶次项的系数为1的比例因子。在例6-1中系统的开环传递函数为

其开环增益为
对于该系统，根轨迹增益Kr与开环增益K之间的是Kr=2k，它们之间仅相差一个比例常数2。

四、根轨迹与系统性能

以图6-1为例进行说明

稳定性 如果系统特征方程的根都位于S平面的左半部，系统是稳定的，否则是不稳定的。若根轨迹穿越虚轴进入右半S平面，根轨迹与虚轴交点处的K值，就是临界稳定的开环增益Kc。
稳态性能 开环系统在坐标原点有一个极点，所以属Ⅰ型系统，因而根轨迹上的K值就是静态速度误差系数。如果给定系统的稳态误差要求，则由根轨迹图确定闭极点位置的允许范围。

动态性能 当0<Kr<1时，所有闭环极点均位于实轴上，系统为过阻尼系统，其单位阶跃响应为单调上升的非周期过程。当Kr=1时，特征方程的两个相等负实根，系统为临界阻尼系统，单位阶跃响应为响应速度最快的非周期过程。当Kr>1时，特征方程为一对共轭复根，系统为欠阻尼系统，单位阶跃响应为阻尼振荡过程，振荡幅度或超调量随 值的增加而加大，但调节时间不会有显著变化。