三、基于开环传递函数 的奈氏判据

用辅助函数 来分析系统的稳定性仍然不大方便， 实际上， 开环传递函数与辅助函数之间的关系非常简单，即

上式意味着平面的纵轴向右平移一个单位后构成的平面即为 GH平面（如图4-41）。
F(s)平面的坐标原点是GH 平面的(-1,j0)点。因此，ΓF 绕 平面原点的周数等效于绕GH平面(-1,j0) 点的周数。

由上面的分析，得到基于开环传递函数G(s)H(s)的奈氏判据如下：

闭环系统稳定的充分必要条件是奈氏轨迹映射在GH平面上的封闭曲线逆时针包围 (-1,j0)点P周，其中P为开环传递函数G(s)H(s)在S平面右半部的极点数。

当G(s)H(s)在S平面右半部没有极点时，即P=0，闭环系统稳定的充分必要条件是在GH平面上不包围(-1,j0)点。

当G(s)H(s)在S平面的虚轴上（包括原点）有极点时，由于奈氏轨迹不能经过开环极点，必须避开虚轴上的所有开环极点。图4-44表示当有开环极点为零时的奈氏轨迹，其中（1）（2） 和（3）部分的定义与图4—42相同.

第（4）部分的定义是：
表明S沿以原点为圆心，半径为无穷小的右半圆弧上逆时针变化（）。这样， Γs 即绕过了G(s)H(s)原点上的极点， 又包围了整个右半S平面，如果在虚轴上还有其它极点，亦可采用同样的方法，将Γs 绕过这些虚轴上的极点。

设系统的开环传递函数为

其中v为系统中积分环节的个数。当 时，

式(4-123)表明，Γs 的第（4）部分无穷小半圆弧在 GH平面上的映射为顺时针旋转的无穷大圆弧，旋转的弧度为vπ弧度。图4—45（a）、（b）分别表示当 v=1和v=2时系统的奈氏曲线，其中虚线部分是?s 的无穷小半圆弧在GH平面上的映射。

基于开环频率特性的奈氏判据如下：

奈奎斯特稳定判据：

闭环系统稳定的充分必要条件是，GH 平面上的开环频率特性 当ω由-∞变化到+∞时，奈氏曲线按逆时针方向包围（-1,j0）点P周。

当位于S平面右半部的开环极点数P=0时，即当系统的开环传递函数的全部极点均位于S平面左半部（包括原点和虚轴）时，闭环系统稳定的充分必要条件是奈氏曲线不包围GH平面的（-1,j0）点。

综上所述，应用奈氏判据分析系统稳定性时，可能会遇到下列三种情况：

(i) 当系统开环传递函数G(s)H(s)的全部极点都位于S平面左半部时（P=0），如果系统的奈氏曲线 不包围GH平面的（-1,j0）点（N=0），则闭环系统是稳定的（z=p-N=0），否则是不稳定的；

(ii) 当系统开环传递函数G(s)H(s)有p个位于S平面右半部的极点时，如果系统的奈氏曲线逆时针包围（-1,j0）点的周数等于位于S平面右半部的开环极点数 （N=P），则闭环系统是稳定的（Z=P-N=0），否则是不稳定的；

(iii) 如果系统的奈氏曲线顺时针包围点（-1,j0）（N>0），则闭环系统不稳定。 （Z=P-N>0）。

从上面的分析可知，奈氏曲线是否包围GH平面的（-1,j0）点是判别系统是否稳定的重要依据（当然还须考虑是否存S平面右半部的开环极点和曲线包围（-1,j0）点的方向）。在有些情况下，曲线恰好通过GH平面的（-1,j0）点（注意不是包围），此时如果系统无位于S平面右半部的开环极点，则系统处于临界稳定状态。

五、奈氏判据的应用

例4—6 试用奈氏判据分析例4—1系统的稳定性。
解 该系统的开环传递函数为

其对应的频率特性是

开环频率特性的极坐标图如图 4—24所示，当ω：-∞～+∞ 时系统的奈氏曲线如 图4—46所示。由该系统的两个开环极点均在S平面左半部，即S平面右半部的开环极点数P=0，由图4—46可知，系统的奈氏曲线不包围（-1,j0）点（N=0），根据奈氏判据，位于S平面右半部的闭环极点数 Z=P－N=0， 该闭环系统是稳定的。

上述结论可从图 4—47所示的根轨图得到证明，从图4—47可知，无论K为何值根轨迹都在S平面左半部，系统总是稳定的。

例4—7 试用奈氏判据分析例4-3系统的稳定性。
解 该系统的开环传递函数为

其对应的频率特性是

开环频率特性的极坐标图如图4—48所示，当ω：-∞～+∞时，
系统的奈氏曲线如图 4-48所示。由于系统含有一个积分环节（v=1），当对应奈氏曲线为顺时针环绕坐标原点的无穷大半圆（图4-48中虚线所示）。

开环传递函数无右半S平面的极点，即P=0，系统是否稳定取决于奈氏曲线与负实轴的交点坐标值- 的大小，当< 1 时，不包围（-1,j0）点，即N=0图4-48（a），系统是稳定的；当> 1 时,奈氏曲线顺时针包围（-1,j0）点两周，即N=-2,图4—48（b），系统不稳定。

例4—8 已知反馈控制系统的开环传递函数为
试用奈氏判据分析当 时系统的稳定性。

解 系统的开环频率特性是

其幅频特性和相频特性分别是

（a）当T<τ时， , 当ω由0变至+∞时， 由∞变至0， 由-180度在第III象限内变化为-180度，其对应的奈氏曲线如图4-50（a）所示，图中虚线表示的顺时针旋转的无穷大圆弧是开环零重极点在 GH 平面上的映射。由于奈氏曲线左端无穷远处是开口的，它没有包围（-1,j0）点（N=0），系统无S平面右半部的开环极点（P=0），由奈氏判据知，当T<τ时，该系统是稳定的。

（b） 当T=τ时， ，系统的相频特性
与角频率ω无关，幅频特性|G(jω)H(jω)|，当ω由0变至+∞时，由∞变至0 。如图4-50(b)所示，除无穷大圆弧外，奈氏曲线是穿过（-1,j0）点且与负实轴重合的，系统是临界稳定状态。当T=τ时，系统的根轨迹如图4-51(b) 所示。由于两条根轨迹位于S平面的虚轴上，系统是等幅振荡的临界稳定状态。

（c）当T>τ时， ，当ω由0变至+∞时，|G(jω)H(jω)| 由∞变至0， 由-180度在第II象限内变化后再次变为-180度，其对应的奈氏曲线如图4-50（c）所示。由于奈氏曲线左端是封口的，它顺时针包围了 （-1,j0）点两周（N=2），由奈氏判据知，当T>τ时，该系统是不稳定的。当T>τ时，系统的根轨迹如图4—51（c）所示。由于有两条根轨迹全部位于S平面右半部，无论K为何值，该系统都是不稳定的。