例6-9 已知系统的开环传递函数为

试绘制该系统的根轨迹图。

解 ⑴由已知系统的开环传递函数可得到它的特征方程为

由规则一和规则二知，该系统的根轨迹共有4条分支（n=4），4条根轨迹连续且对称于实轴。

⑵ 由规则三知， 4条 根轨迹 的起点分别 是系统的 4个开环极点, 即 P1=0 ， P2=-2,P3=-1±j1,P4=-1-j1 。由于系统无有限开环零点（m=0），4条根轨迹的终点 均在S平面的无穷远处（无穷零点）。

⑶由规则四可求出4条根轨迹渐近线与实轴的交点为

渐近线与实轴正方向的交角为

⑷由规则五知，实轴上的根轨迹是实轴上由0到-2的线段。

⑸由规则六可求出根轨迹与实轴的交点（分离点）。分离点方程是

即

解方程得到三个根，它们是 α1=-0.235 ， α2=-1,α3=4.235

α3不在实轴上的根轨迹上，不是分离点；α1和α2在实轴根轨迹上，它们是根轨迹与实轴交点的合理值，即α1和α2是两个分离点。

⑹由规则七可求出复数极点P3和P4的出射角

⑺该系统为4阶系统，用解析法求根轨迹与虚轴的交点ωc和对应的开环根轨迹增益的临界值Krc比较困难。下面采用劳斯判据求出ωc和Krc的值。

根据系统的特征方程列出劳斯表如下：

令劳斯表中s1行的首项系数为零，求得Krc=5，由s2行系数写出辅助方程为
，令s-jω，并将Kr=Krc=5代入辅助方程可求出ωc=±1。系统的根轨迹如图6-13所示。