二 正反馈系统的根轨迹

正反馈系统的特征方程是

即
由此可得到绘制正反馈系统根轨迹的幅值条件和相角条件分别为

比较式（6-40）和式（6-13）知，正反馈系统和负反馈系统绘制根轨迹的幅值条件相同；

比较式（6-41）和式（6-14）知，负反馈系统的根轨迹遵循180°相角条件，而正反馈系统的根轨迹遵循0°相角条件。故正反馈系统根轨迹又称为零度根轨迹。由于相角条件不同，在绘制正反馈系统根轨迹时，须对前面介绍的绘制负反馈系统普通根轨迹的七条基本规则中与相角条件有关的三条规则作相应修改，它们是：

⑴对规则四应修改为：正反馈系统根轨迹的渐近线与实轴正方向的夹角应为

⑵对规则三应修改为：正反馈系统在实轴上的根轨迹只能是那些在其右侧的开环实零点和开环实极点的总数为偶数或零的线段。

⑶对规则六应修改为：正反馈系统的起始角和终止角应为

下面通过示例进一步说明正反馈系统根轨迹的绘制方法。

例6-11 已知正反馈系统的开环传递函数为

试绘制该系统的根轨迹图。

解：由系统的开环传递函数与例6-7相同。
由修改后的规则三知，实轴上的根轨迹是由0至+∞线段和由-1至-2线段。
由修改后的规则四知，渐近线与实轴正方向的夹角分别是0°（k = 0）、120°（k = 1）和-120°（k = 2）。

在例6-7中，由规则五求出的极值方程的解有两个，即α1=-0.42和α2=-1.58，对于例6-7的负反馈系统， 是根轨迹与实轴交点的合理值，因为它是实轴上根轨迹上的一点；α2=-1.58不在实轴的根轨迹上，故在例6-7中被舍去。这种情况在本例中正好相反，由于是正反馈系统，实轴上的根轨迹改变了， 在实轴的根轨迹上，它是根轨迹与实轴交点（分离点）的合理值，而α1=-0.42不在实轴的根轨迹上，应舍去。由此可见，虽然规则五没有改变，但在确定分离点时，应考虑规则三变化的影响。

本例无共轭复数开环零、极点，不存在起始角和终止角问题，根轨迹与虚轴也无交点。本例的根轨迹如图6-16所示。由图6-16可看出，三条根轨迹中，有一条从起点到终点全部位于S平面右半部，这就意味着无论Kr为何值，系统都存在S平面右半部的闭环极点，该正反馈系统总是不稳定的。而有相同开环传递函数的负反馈系统(例6-7，图6-1l)，它的临界轨迹增益Krc=6，即当Kr>6时系统是不稳定的，当Kr<6时系统是稳定的。由此可知，在开环传递函数相同的情况下，负反馈系统的稳定性比正反馈系统好。

三 非最小相位系统的根轨迹

所谓非最小相位系统，是指那些在S平面右半部有开环极点和（或开环零点）的控制系统。所有开环零点和极点都位于S平面左半部的系统叫最小相位系统。本章前面介绍的示例都是最小相位系统。非最小相位系统一词源于对系统频率特性的描述，即在正弦信号的作用下，具有相同幅频特性的系统（或环节），最小相位系统的相位移最小，而非最小相位系统的相位移大于最小相位系统的相位移。

例6-12 已知负反馈系统的开环传递函数为

试绘制该系统的根轨迹图。

解 该系统有一位于S平面右半部的开环极点（P2=1），是非最小相位系统。系统特征方程的最高阶次是4，由规则一、二知该系统有四条连续且对称于实轴的根轨迹。四条根轨迹的起点分别是它的四个开环极点，P1=0,P2=1,P3=-1±j1,P4=-1-j1 。

根轨迹的一个终点是它的有限开环零点，即Z1=-1，其余三个终点均在无穷远处（无限零点）。

由规则四知，根轨迹的三条渐近线与实轴的交点为

渐近线与实轴正方向的夹角分别是60°(k=0), 180°(k=1)和-60°(k=2)。

由规则三知，实轴上的根轨迹是由0至1线段和-1至-∞线段。
由规则五的分离点方程可求出根轨迹与实轴的交点，即由方程

得，解极值方程得到4个根分别为α1=0.55，α1=-1.55，α3,4=-0.5±j0.75 。显然，α1和α2为根轨迹与实轴交点的合理值，即α1和α2为根轨迹的分离点。

由规则六可求出共轭复数极点 和 的起始角分别为

根轨迹与虚轴无交点。最后绘制出该系统的根轨迹如图6-17所示。

该非最小相位系统除了有位于S平面右半部的开环零、极点外，其绘制根轨迹的规则和步骤与最小相位系统完全相同。需要指出的是，如果非最小相位系统是正反馈系统，在绘制根轨迹时应遵循第四节介绍的0°相角条件。

设某负反馈系统的开环传递函数为

系统的特征方程为

根轨迹方程与正反馈系统的一样，其幅值条件和相角条件分别为