例6-15 已知系统的开环传递函数为

试分析附加开环零点对系统性能的影响。

解 ⑴原系统的根轨迹如图6-21所示，由图6-21可看出，当系统开环根轨迹增益Kr>Krc时，该系统有两条根轨迹进入S平面右半部成为不稳定系统。

⑵给原系统增加一附加负实零点Z1（Z1<0），系统的开环传递函数为

此时，开环传递函数分子与分母的最高阶次分别为n=3，m=1；n-m=2。因此根轨迹渐近线与实轴正方向的夹角分别为90°和-90°，两条渐近线垂直于实轴，它们与实轴的交点坐标位置视附加零点的取值而改变，分别讨论如下。

（ⅰ）当 时 ，渐近线与实轴的交点

渐近线位于S平面右半部，根轨迹如图6-22（a）所示。比较原系统的根轨迹（图6-21），虽然右边两条根轨迹形状发生了变化，但它们仍进入了平面右半部，当时(为增加了开环零点后的开环根轨迹与虚轴交点对应的临界值)，系统仍是不稳定的系统。

（ⅱ）当 时，渐近线与实轴的交点

渐近线位于S平面左半部，根轨迹如图6-22（b）所示。此时系统的三条根轨迹全部位于S平面左半部，无论Kr为何值，系统都是稳定的系统。

（ⅲ）当 时，渐近线与实轴的交点也小于零，根轨迹如图6-22（c）所示。

比较图6-22（b）和6-22（c）会发现，前者的渐近线离虚轴的距离较后者近。因此，虽然从系统的稳定性角度看，二者是一样的，即无论Kr为何值系统都是稳定的。但从简化系统以便于分析系统的瞬态性能的角度看，条件（ⅱ）所对应的图6-22（b）则优于条件（ⅲ）所对应的图6-22（c）。这是因为图6-22（b）右边两条进入复平面的根轨迹离虚轴较近，容易在其上面找到一对满足主导极点条件的共轭复数极点s1、s2（对应Kr'），这时便可将系统简化成闭环传递函数为 的二阶系统，而图6-22（c）所示系统不能满足这样的简化条件。

如图6-22（c）所示，如果s1、s2 、s3 分别为对应的系统参数 的三个闭环极点，由于 ，共轭复数极点s2 、s3 不满足主导极点条件，系统不能简化成二阶系统。但如果图6-22（c）中，闭环实极点s1 到虚轴的距离比闭环共轭复数极点s2、s3到虚轴的距离小五倍以上，也可将系统简化为由闭环实极点s1决定的一阶系统。

综上分析，我们可以得到如下两点结论：

⑴附加负实零点具有将S平面上的根轨迹向左“拉”的作用，且附加零点愈靠近虚轴，这种“拉力”愈强，反之亦然。因此选择合适的附加零点有可能将系统的根轨迹从平面的右半部全部“拉”到S平面左半部，有利于改善系统的稳定性。

⑵适当选择附加零点的大小，不仅可以改善系统的稳定性，还可以改善系统的动态性能和简化系统的分析。如上例中满足条件（ⅱ）的附加零点可使三阶系统简化成由主导极点s1 、ss2 所确定的二阶系统，适当选择附加零点的大小，就可以使由s1 、s2 所确定的二阶系统满足响应速度和阻尼比的要求，这在工程实践上是很有用的。

2 附加开环极点对根轨迹的影响

增加开环极点会使系统的阶次升高，一般来说这是不希望的。但有时为了改善系统的某项性能指标（如限制频带宽度或减小稳态误差），附加开环极点也不失为一种有效途径。下面通过一个示例分析附加开环极点对根轨迹的影响。

例6-16 已知系统的开环传递函数为
其中P4=-a 为附加开环极点，试分别绘制原系统（无附加开环极点）和a=0.5、a=2和a=6时系统的根轨迹图。

解 根据系统的开环传递函数和绘制根轨迹的基本规则，将无附加开环极点的原系统和不同附加开环极点（不同a值）所对应的根轨迹的有关数据的计算结果列入表6-1中其对应的根轨迹图分别如图6-2（a）、（b）、（c）、（d）所示。

由四个根轨迹图可以看出，附加开环极点的大小不同（即不同的a值）对根轨迹的形状会产生很大的影响，即开环极点（同样也包括开环零点）在S平面上位置的微小变化，有可能引起根轨迹形状的重大变化，这一点务必给予足够的重视。正是这种根轨迹形状的变化为系统的分析和设计提供了多种选择的可能。